Question

求不定积分∫e^ xsin² x dx.

Answer 1

∫ e^xsin²x dx

=(1/2)∫ e^x(1-cos2x) dx

=(1/2)e^x - (1/2)∫ e^xcos2x dx (1)

下面计算：

∫ e^xcos2x dx

=∫ cos2x d(e^x)

分部积分

=e^xcos2x + 2∫ e^xsin2x dx

=e^xcos2x + 2∫ sin2x d(e^x)

再分部积分

=e^xcos2x + 2e^xsin2x - 4∫ e^xcos2x dx

将 -4∫ e^xcos2x dx 移项与左边合并后除以系数

得：∫ e^xcos2x dx = (1/5)e^xcos2x + (2/5)e^xsin2x + C

将上式代入（1）得

∫ e^xsin²x dx = (1/2)e^x - (1/10)e^xcos2x - (1/5)e^xsin2x + C

不定积分的公式：

1、∫adx=ax+C，a和C都是常数

2、∫x^adx=[x^(a+1)]/(a+1)+C，其中a为常数且a≠-1

3、∫1/xdx=ln|x|+C

4、∫a^xdx=(1/lna)a^x+C，其中a>0且a≠1

5、∫e^xdx=e^x+C

6、∫cosxdx=sinx+C

7、∫sinxdx=-cosx+C

8、∫cotxdx=ln|sinx|+C=-ln|cscx|+C