Question

求助解决一道初三的几何证明题！悬赏100分！

如图：
三角形ABC是圆内接三角形，AF是角BAC的角平分线。
证明：AE的平方等于AC乘以AB减去BE乘以BC的值。
即：AE*AE=AC*AB-BE*EC

Answer 1

证明：
∵AF平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAF
∵∠ABC=∠AFC
∴△ABE∽△AFC
∴AB*AC=AE*AF
∴AB*AC-AE²=AE*AF-AE²=AE（AF-AE）=AE*EF
∴AE²=AB*AC-AE*EF
根据相交弦定理可得：AE*EF=BE*EC
∴AE²=AB*AC-BE*EC

Answer 2

连接CF
因为角BAE=角FAC,角AFC=角ABF
所以三角形ABE 相似于 三角形AFC
所以AB/AF=AE/AC
所以AB*AC=AF*AE
所以AB*AC=(AE+EF)*AE
所以AB*AC=AE*AE+EF*AE
又因为AE*EF=BE*EC
所以AB*AC=AE*AE+BE*EC
所以AE*AE=AB*AC-BE*EC

Answer 3

其实不用作辅助线的
∵∠CAE=∠BAF （角分线）
∠C=∠F (同弧)
∴△ACE∽△AFB
∴AC：AF=AE:AB
∴AE*AF=AB*AC (1)
又∵∠CAE=∠CBF（角分线）
∠C=∠F (同弧)
∴△ACE∽△BFC
∴AE:BE=EC:EF
∴AE*EF=BE*EC （2）
又EF=AF-AE
∴AE*EF=AE*(AF-EF)=AE*AF-AE*AE （3）
由（1）式,（3）式化为
AE*EF=AE*(AF-EF)=AB*AC-AE*AE
由(2)式,有
BE*EC =AE*EF=AB*AC-AE*AE
即 AE*AE=AB*AC-BE*EC

Answer 4

解：连接CF
∵AF是角BAC的角平分线
∴∠CAF=∠BAF=∠BCF（同弧）
∠ACB=∠AFB（同弧）
∠CEF=∠AEB（对顶角）
∴△AEC∽△ABF
∴AC/AF=AE/AB AC*AB=AE*AF
∵原式=AE*AE=AC*AB-BE*EC
=AE*AE=AE*AF-BE*EC
=AE=AF-BE*EC/AE
又∵△CEF∽△AEB
∴CE/AE=EF/EB EF=BE*EC/AE
∴AE=AF-EF
故原式成立

Answer 5

你是小孩子吧？偷懒了吧？
数学是伟大的学问哦！学好了受益终生！
初三可是努力的时候了，否则就麻烦了！！
及时当勉励，岁月不待人哦！！
小青年，加油！学好了数学，以后同学玩的电脑游戏就是你发明的！！

多动脑经多学习才是终极妙方哦，否则以后的高中数学有你好受的，考不上高中更有你受的！！

Answer 6

解： 连接CF
∵AF是角BAC的角平分线
∴∠CAF=∠BAF=∠BCF， ∠ACB=∠AFB
∠CEF=∠AEB（对顶角）
∴△AEC∽△ABF
∴AC/AF=AE/AB
AC*AB=AE*AF
∵原式=AE*AE
=AC*AB-BE*EC
=AE*AE=AE*AF-BE*EC

即：AE*AE=AC*AB-BE*EC