Question

e^(x+y) dxdy,其中D是由x=0,y=0,x=1,y=2所围成的区域？

Answer 1

要计算积分 ∫∫D e^(x+y) dxdy，其中 D 是由 x=0, y=0, x=1, y=2 所围成的区域。
首先，我们可以交换积分次序，将积分区域变为 x 和 y 的先后顺序，于是有：
∫∫D e^(x+y) dxdy = ∫0^1 ∫0^x e^(x+y) dydx + ∫1^2 ∫0^1 e^(x+y) dydx
接下来，我们对每个积分进行计算。对于第一个积分，有：
∫0^x e^(x+y) dy = e^(2x) - e^x
因此，第一个积分为：
∫0^1 ∫0^x e^(x+y) dydx = ∫0^1 (e^(2x) - e^x) dx = (1/2)e^2 - (2/3)
对于第二个积分，有：
∫0^1 e^(x+y) dy = e^(x+1) - e^x
因此，第二个积分为：
∫1^2 ∫0^1 e^(x+y) dydx = ∫1^2 (e^(x+1) - e^x) dx = e^3/2 - e^2/2
综上所述，原积分的值为：
∫∫D e^(x+y) dxdy = ∫0^1 ∫0^x e^(x+y) dydx + ∫1^2 ∫0^1 e^(x+y) dydx
= (1/2)e^2 - (2/3) + e^3/2 - e^2/2
= (1/2)e^2 + e^3/2 - (2/3) - e^2/2

Answer 2

求解过程与结果如图所示