Question

3.当x→0+时,无穷小ax^b~1-cosx,则常数a,b的值分别是？

Answer 1

根据题意，当 $x\rightarrow 0^+$ 时，无穷小 $ax^b$ 与 $1-\cos{x}$ 等价，即 $ax^b \sim 1-\cos{x}$。

由于 $1-\cos{x} \sim \frac{1}{2}x^2$，所以 $ax^b \sim \frac{1}{2}x^2$。

因为 $ax^b$ 是无穷小，所以 $b$ 必须小于等于 $2$。如果 $b < 2$，那么 $ax^b$ 与 $x^2$ 相比在 $x\rightarrow 0^+$ 时会更快地趋于 $0$，因此 $ax^b$ 不可能与 $\frac{1}{2}x^2$ 等价。因此，$b$ 必须等于 $2$。

代入原式得到 $ax^2 \sim \frac{1}{2}x^2$，整理可得 $a = \frac{1}{2}$。

因此，常数 $a$ 和 $b$ 的值分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $2$。