Question

线性电路的分析方法_一阶线性动态电路的分析方法

Answer 1

　　摘 要： 本文针对一阶动态电路具有的特殊规律和特征，运用四种方法介绍对一阶动态RC电路的求解，以区别于稳态电路的求解方法。并对比各种解法，在不同类型的动态电路分析中进行合理选择，以期更方便地求解问题。
　　关键词： 一阶线性 动态电路 求解方法
　　一阶线性动态电路指的是电路中只含有一种储能元件（电容或电感），当电路的结构或元件参数发生改变时，电路的工件状态将由原来的稳态转变成另一个稳态，这种转变是需要一个过程的。一阶线性动态电路其动态过程的数学模型是一阶常系数微分方程。此类电路以RC电容充放电电路、RL电感储能和释能电路最为常见，其动态过程中的电流和电压都是变化的。这与通常描述的直流电路和周期性交流电路中，电压及电流恒稳不变，或按周期性规律变动的稳态电路不同。在分析方法上也完全不同。下面以RC动态电路为例，运用四种方法求解动态过程中的电流和电压的变化规律。
　　如图1，RC电路开关S合上前电容已充过电，电容上的电压U（0_）=U，求开关合上后电路中的电流i和电压u。
　　解法一：微分方程法
　　由i=C，得回路电压方程
　　u+CR=U
　　得：u=U+Ae
　　由换路定律知：t=0时，u（0_）=u（0）=U代入上式确定常数A值
　　得：A=U-U
　　所以u=U+（U-U）e
　　i=C=e
　　可见当开关S闭合后，电容充电电容电压由U逐渐增大为U，电路电流由按指数规律逐渐衰减为0。
　　解法二：三要素法
　　一阶线性动态电路的三要素公式为：
　　f（t）=f（∞）+［f（0）-f（∞）］e（t≥0）
　　其中三要素为：稳态值f（∞）为t=∞时所求响应的稳定值
　　初始值f（0）为t=0时所求响应的起始值
　　时间常数τ=CR
　　由此得：u=U+（U-U）e
　　i=0+-0e=e
　　解法三：拉氏变换法
　　由回路电压方程u+CR=U?藓（t）
　　其中?藓（t）为阶跃函数?藓（t）=1（t≥0）?藓（t）=0（t<0）
　　对此方程作拉氏变换得：U（S）+CR［SU（S）-U（0_）］=
　　得：U（S）=+=-+
　　由拉氏逆变换得：u=U-Ue+Ue=U+（U-U）e
　　i==e
　　解法四：R、C元件的复频域模型法
　　i=C
　　运用拉氏变换得：I（S）=CSU（S）-CU（0_）
　　得：U（S）=+
　　根据图2所示的RC电路复频域等效模型，由基尔霍夫定律的复频域方程得：
　　++I（S）R=
　　得：I（S）=×=（U-U）
　　由拉氏逆变换得：i=e
　　u=U-i（t）R=U-（U-U）e=U+（U-U）e
　　文中用四种方法求解了一阶线性动态电路的响应，对比此四种方法，对一阶动态电路，三要素法只需根据换路后的等效电路，确定出三要素后就能直接按表达式写出响应。微分方程法要运用初始条件求常数A，且求解过程也相对复杂些，但微分方程是依据回路的电压方程列出的，物理意义很明确，是三要素法、拉氏变换法的基础。在二阶RLC动态电路分析中，所列出的方程是二阶微分方程，求解难度较大，此种情况下用拉氏变换把微分方程转化为代数方程，运用动态电路复频域分析法求解会较为方便。因此在分析动态电路时，选择合适的求解方法，会达到事半功倍的效果。
　　参考文献：
　　［1］王慧玲.电路基础.高等教育出版社，2007：11.
　　［2］王翠萍.应用数学.中国纺织出版社，2009：4.