Question

证明极限lim x²y/x²+y²＝0，（x→0，y→0）？

数学分析的题，求完整过程🙏🙏

Answer 1

当x, y迫临0时，有：
|x²y/x²+y² - 0| = |x²y/(x²+y²)|
因为|x²| ≤ x²+y²，以是：
|x²y/(x²+y²)| ≤ |xy|
是以，当x, y迫近0时，有：
0 ≤ |x²y/x²+y² - 0| ≤ |xy|
因为当x, y迫临0时，|xy|也迫临0，因而凭据夹逼定理，当x, y迫近0时，有：
lim x²y/x²+y² = 0。
是以，已证清楚明了当（x0，y0）时，极限lim x²y/x²+y²＝0。

Answer 2

因为x²/x²+y²＜x²+y²/x²+y²=1
所以x²/x²+y²又上界1
又因为x²/x²+y²恒为正
故函数有下界为0
故极限lim x²y/x²+y²（x→0，y→0）=0(有界函数乘以无穷小为0)