Question

已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(2,0),C(0,-2),直线x=m(m>2)与x轴交于点D

（1）求二次函数的解析式
（2）在直线x=m(m>2)上有一点E(E点在第四象限)，使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）∵二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2）

∴a＋b＋c＝0

4a＋2b＋c＝0

c＝－2

解得a＝－1，b＝3，c＝－2

∴二次函数的解析式y＝－x ²＋3x－2

（2）当△EDB∽△AOC时，有AO/ED＝CO/BD或AO/BD＝CO/ED

∵AO＝1，CO＝2，BD＝m－2

当AO/ED＝CO/BD时，得1/ED＝2/(m－2)，∴ED＝(m－2)/2

∵点E在第四象限，∴E1（m，(m－2)/2）

当AO/BD＝CO/ED时，得1/(m－2)＝2/ED，∴ED＝2m－4

∵点E在第四象限，∴E2（m，4－2m）

（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则

EF＝AB＝1，点F的横坐标为m－1

当点E1的坐标为（m，(m－2)/2）时，点F1的坐标为（m－1，(2－m)/2）

∵点F1在抛物线的图象上，∴(2－m)/2＝－(m－1)²＋3(m－1)－2

∴2m ²－11m＋14＝0，解得m1＝7/2，m2＝2（不合题意，舍去）

∴F1（7/2，－3/4）

∴S□ABEF ＝1×3/4＝3/4

当点E2的坐标为（m，4－2m）时，点F2的坐标为（m－1，4－2m）

∵点F2在抛物线的图象上，∴4－2m＝－(m－1) ²＋3(m－1)－2

∴m  ²－7m＋10＝0，解得m1＝5，m2＝2（不合题意，舍去）

∴F2（4，－6）

∴S□ABEF ＝1×6＝6

Answer 2

如图，和楼下相比，楼下清楚多了，而且你可以看到我手稿中有个错误，没有注意是第四像限，y轴坐标正负搞反了这是你要注意的地方