Question

如图所示求正交矩阵Q

求

Answer 1

为了找到对给定对称矩阵a进行对角化的矩阵Q，我们可以使用a的本征分解。因为a是对称的，所以它有一整套正交特征向量。这些特征向量可用于形成正交矩阵Q，相应的特征值可用于形成对角矩阵D，使得a=Q*D*Q^T。下面是如何找到给定矩阵A的Q：1.使用任何方法（例如，幂迭代、QR算法等）找到A的本征值和特征向量。设λ1、λ2和λ3为A的按降序排列的特征值（即，λ1>=λ2>=λ3），并设v1、v2和v3为其对应的正交特征向量。2.通过将这些特征向量作为其列来形成正交矩阵Q：Q=注意，由于这些特征向量是正交的，Q也是正交矩阵。3.通过使用步骤1和2中获得的值计算该方程的两侧，验证AQ=QD。例如，假设我们有以下对称矩阵：A=使用任何方法（例如QR算法），我们都可以找到其特征值和特征向量：λ1 = 6v1=λ2 = 4v2=λ3 = 3v3=然后，我们可以通过将这些特征向量作为其列来形成正交矩阵Q：Q==最后，我们可以验证AQ=QD：水溶液=QDQ^吨=

Answer 2

首先，让我们来看一下这个二次型。经过展开，我们可以得到它的矩阵表示形式为：

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我们来验证一下。

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Answer 3

为了找到对给定对称矩阵a进行对角化的矩阵Q，我们可以使用a的本征分解。因为a是对称的，所以它有一整套正交特征向量。这些特征向量可用于形成正交矩阵Q，相应的特征值可用于形成对角矩阵D，使得a=Q*D*Q^T。下面是如何找到给定矩阵A的Q：1.使用任何方法（例如，幂迭代、QR算法等）找到A的本征值和特征向量。设λ1、λ2和λ3为A的按降序排列的特征值（即，λ1>=λ2>=λ3），并设v1、v2和v3为其对应的正交特征向量。2.通过将这些特征向量作为其列来形成正交矩阵Q：Q=注意，由于这些特征向量是正交的，Q也是正交矩阵。3.通过使用步骤1和2中获得的值计算该方程的两侧，验证AQ=QD。例如，假设我们有以下对称矩阵：A=使用任何方法（例如QR算法），我们都可以找到其特征值和特征向量：λ1 = 6v1=λ2 = 4v2=λ3 = 3v3=然后，我们可以通过将这些特征向量作为其列来形成正交矩阵Q：Q==最后，我们可以验证AQ=QD：水溶液=QDQ^吨=