Question

各位，这题咋写？

Answer 1

为了求出函数 z=((y+x)/³√(x^2+1))^(1/3) 关于 x 的偏导数，我们需要分别求出分子和分母关于 x 的导数，然后使用求导法则计算最终结果。
首先，我们来求分子关于 x 的导数。分子为 y + x，对 x 求导得到：
∂(y + x) / ∂x = 0 + 1 = 1
接下来，我们求分母关于 x 的导数。分母为³√(x^2 + 1)，我们可以表示为 (x^2 + 1)^(1/3)。为了求导，我们可以使用链式法则：
∂[ (x^2 + 1)^(1/3) ] / ∂x = (1/3) * (x^2 + 1)^(-2/3) * ∂(x^2 + 1) / ∂x
对内部函数 x^2 + 1 求导得：
∂(x^2 + 1) / ∂x = 2x
将求导结果代入之前的表达式中，得到分母关于 x 的导数：
∂[ (x^2 + 1)^(1/3) ] / ∂x = (1/3) * (x^2 + 1)^(-2/3) * 2x
现在，我们已经求出了分子和分母关于 x 的导数。我们可以使用商的求导法则计算 z 关于 x 的偏导数：
∂z/∂x = [( (x^2 + 1)^(1/3) * 1 - (y + x) * (1/3) * (x^2 + 1)^(-2/3) * 2x ) / ( (x^2 + 1)^(1/3) )^2]^(1/3)
首先观察到分子中的两项都含有(x^2 + 1)的幂。为了将它们放在同一个基础上，我们将第一项的(x^2 + 1)提升到(-2/3)次幂：
= [ (x^2 + 1)^(-2/3) * (x^2 + 1) - (y + x) * (1/3) * (x^2 + 1)^(-2/3) * 2x ] / ( (x^2 + 1)^(2/3) )^(1/3)
现在我们可以将分子中具有相同基数的两项合并：
= [ (x^2 + 1)^(-2/3) * ( (x^2 + 1) - (2/3)(y + x) * x ) ] / ( (x^2 + 1)^(2/3) )^(1/3)
接下来我们可以看到分子和分母都有 (x^2 + 1) 的幂，我们可以将它们约分：
= [ ( (x^2 + 1) - (2/3)(y + x) * x ) ]^(1/3)
这就是关于 x 的偏导数的简化形式：
∂z/∂x = [ ( (x^2 + 1) - (2/3)(y + x) * x ) ]^(1/3)

Answer 2

我们可以使用链式法则来计算 ∂z/∂x，即：
∂z/∂x = (∂z/∂u) * (∂u/∂x)
其中，u = (y + x) / (x^2 + 1)^(1/3)。
我们可以计算出 ∂z/∂u 和 ∂u/∂x，然后将它们相乘即可得到 ∂z/∂x。
计算 ∂z/∂u：
根据指数函数的导数公式，我们有：
∂z/∂u = (1/3) * u^(-2/3)
将 u 带入上式，我们得到：
∂z/∂u = (1/3) * ((y + x) / (x^2 + 1)^(1/3))^(-2/3)
计算 ∂u/∂x：
我们可以使用商规则来计算 ∂u/∂x，即：
∂u/∂x = [(y + x) * (x^2 + 1)^(1/3) - (y + x) * (1/3) * (x^2 + 1)^(-2/3) * 2x] / (x^2 + 1)^(2/3)
将上式简化后，我们得到：
∂u/∂x = (x^2 + 1)^(1/3) - (2/3) * (y + x) * x^2 * (x^2 + 1)^(-5/3)
将 ∂z/∂u 和 ∂u/∂x 相乘，我们得到：
∂z/∂x = (1/3) * ((y + x) / (x^2 + 1)^(1/3))^(-2/3) * [(x^2 + 1)^(1/3) - (2/3) * (y + x) * x^2 * (x^2 + 1)^(-5/3)]
最终，我们可以将 x 和 y 的值带入上式，计算出 ∂z/∂x 的数值。
假设 x = 2，y = 3，则：
u = (y + x) / (x^2 + 1)^(1/3) = (3 + 2) / (2^2 + 1)^(1/3) ≈ 1.604
∂u/∂x = (2^2 + 1)^(1/3) - (2/3) * (3 + 2) * 2^2 * (2^2 + 1)^(-5/3) ≈ 0.227
∂z/∂u = (1/3) * u^(-2/3) = (1/3) * 1.604^(-2/3) ≈ 0.574
因此，根据链式法则：
∂z/∂x = (1/3) * ((y + x) / (x^2 + 1)^(1/3))^(-2/3) * [(x^2 + 1)^(1/3) - (2/3) * (y + x) * x^2 * (x^2 + 1)^(-5/3)]
≈ (1/3) * 1.604^(-2/3) * [(2^2 + 1)^(1/3) - (2/3) * (3 + 2) * 2^2 * (2^2 + 1)^(-5/3)]
≈ 0.574 * (2.520 - 0.013) ≈ 1.416
因此，当 x = 2，y = 3 时，∂z/∂x ≈ 1.416。
验证下看看是否正确

Answer 3

首先，根据链式法则，求偏导数需要先求出每个中间变量对x的偏导数，然后再将这些偏导数代入最终的偏导数公式中求得∂z/∂x。
设u = x² + 1，v = 3√u，w = y + x/v，z = w^(1/3)，则：
∂u/∂x = 2x
∂v/∂u = 1/3u^(-2/3)
∂v/∂x = ∂v/∂u * ∂u/∂x = 2x/(3√(x²+1)³)
∂w/∂x = 1/v + x/2v³ * ∂v/∂x = 1/3√(x²+1) + x/(2√(x²+1)³)
∂z/∂x = 1/3 * w^(-2/3) * ∂w/∂x = (1/3) * (y + x/3√(x²+1))^(-2/3) * (1/3√(x²+1) + x/(2√(x²+1)³))
因此，∂z/∂x = (1/9) * (y + x/3√(x²+1))^(-2/3) * (1/√(x²+1) + x/(2(x²+1)√(x²+1)))