Question

设f'(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导对a<c<b有f(a)=f(b)=f(c),证明存在一点ξ∈(a,b),使f'(ξ)=0

Answer 1

【答案】：证明过程如下：
因为f'(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，所以f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，又因为f(a)=f(b)=f(c)，满足罗尔定理的条件，所以由罗尔定理可得：存在ξ1∈(a,b)、ξ2∈(b,c)使得f'(ξ1)=0、f'(ξ2)=0；在区间(ξ1,ξ2)上再次使用罗尔定理得：存在一点ξ∈(ξ1,ξ2)∈(a,b)，使f"(ξ)=0，题目得证。