Question

周长相等的封闭平面图形为什么圆形的面积最大?高中不等式

Answer 1

当给定周长相等的封闭平面图形时，在约束周长的条件下，我们需要找到一个图形，它的面积最大。而这个图形是什么，可以通过数学方法进行探索。
首先，根据周长相等的条件，我们可以把周长表示成变量L，即：
周长L = 2πr
其中，r表示该图形的半径。将上式变形，可得：
r = L / (2π)
接下来，我们需要找到一个表达式，来计算不同图形的面积。对于圆形而言，其面积S可以用下式表示：
S = πr^2
将r的表达式代入上式，可以得到：
S = π(L/2π)^2
化简，可得：
S = L^2 / (4π)
这样，我们就得到了一个表达式，可以用来计算周长L相同时不同图形的面积。接下来，我们需要证明，当L相同时，圆形的面积最大。
首先，我们可以计算圆形的面积与上式得到的通式的比值，即：
S(圆形) / S(通式) = （π（L/2π）^2）/ (L^2 / (4π)) = π / 4
接着，我们可以计算其他一些常见的封闭平面图形的面积与通式的比值，比如正方形、等边三角形、菱形等，可以得到的结论是：
S(正方形) / S(通式) = 1 / 4
S(等边三角形) / S(通式) = √3 / 36
S(菱形) / S(通式) = 1 / 8
可见，各个图形的面积与通式的比值都小于π/4，也就是小于圆形的面积与通式的比值。因此，当周长相等时，圆形的面积最大。