Question

两个数的最小公倍数是120,1000以内有多少这样的数？

Answer 1

首先，我们需要知道两个数的最小公倍数是它们的乘积除以它们的最大公约数。因此，设这两个数为$a$和$b$，它们的最大公约数为$d$，则有：

$$ ext{lcm}(a,b)=\frac{ab}{d}=120$$

我们可以将120分解质因数，得到$120=2^3 imes3 imes5$。因此，$ab$必须包含$2^3$、$3$和$5$这三个质因数，而$d$必须是它们的一个因子。

我们可以列出$d$可能的取值：

$$d=1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120$$

对于每个$d$，我们可以计算出满足条件的$a$和$b$的个数。例如，当$d=2$时，$ab$必须包含$2^3$、$3$和$5$这三个质因数，而且$a$和$b$中必须有一个是偶数，另一个是$3$或$5$的倍数。因此，满足条件的$a$和$b$的个数为：

$$\frac{1000}{2} imes\left(\frac{1000}{3}+\frac{1000}{5}-\frac{1000}{2 imes3 imes5}\right)=8333$$

其中，$\frac{1000}{2}$表示偶数的个数，$\frac{1000}{3}$和$\frac{1000}{5}$分别表示$3$和$5$的倍数的个数，$\frac{1000}{2 imes3 imes5}$表示既是偶数又是$3$和$5$的倍数的个数。

对于其他的$d$，我们可以采用类似的方法计算出满足条件的$a$和$b$的个数。最后，将所有的结果相加，即可得到1000以内满足条件的数的个数。