Question

eˇx4-cosˇ2x-xˇ2/xˇ4 X趋于0求极限

为什么用泰勒做出来和洛必达不一样呢

Answer 1

要求极限 lim(x0) (e^(x^4) - cos^2(x) - x^2) / x^4。

我们可以使用泰勒展开来求解该极限。对于小的 x 值，我们可以将函数 e^(x^4) 和 cos^2(x) 在 x = 0 处展开成泰勒级数。首先，我们来展开 e^(x^4)：

e^(x^4) = 1 + x^4 + (x^4)^2/2! + (x^4)^3/3! + ...

在 x = 0 处截取泰勒级数的前两项：

e^(x^4) ≈ 1 + x^4

接下来，我们展开 cos^2(x)：

cos^2(x) = (1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...)^2

在 x = 0 处截取泰勒级数的前两项：

cos^2(x) ≈ 1 - x^2/2

将展开后的结果代入原始函数并进行化简：

(e^(x^4) - cos^2(x) - x^2) / x^4 ≈ [(1 + x^4) - (1 - x^2/2) - x^2] / x^4

化简得：

(e^(x^4) - cos^2(x) - x^2) / x^4 ≈ (2x^2 - x^2/2) / x^4

继续化简：

(e^(x^4) - cos^2(x) - x^2) / x^4 ≈ (3/2)x^-2

现在，我们将 x 趋近于 0，即取极限 lim(x0) (3/2)x^-2：

lim(x0) (3/2)x^-2 = +∞

所以，根据计算，该极限的结果是正无穷大。

请注意，这是近似结果，因为我们只考虑了泰勒级数的前两项。在数值计算中，您可以使用更多项来获得更精确的结果。