Question

有一个直角三角形，斜边上两个三等分点，据直角顶点的距离分别为3和4 ，求斜边长

这是2010年合肥一六八中学自主招生的一道数学题

Answer 1

方法很多给提示一下：不妨设E和 D两点是RT△ABC斜边AC的三等分点，过E和 D两点分别向两直角边作垂线，垂足为F和G。先证明全等再两次用勾股定理，求出x和y即可！

Answer 2

以直角顶点为原点，两直角边为坐标轴正方向，建立直角坐标系

直角三角形ABC，B（0，0），C（M，0），A（0，N）
E和F在AB上，AE=EF=FC，BE=4，BF=3
则E（M/3，2N/3），F（2M/3，N/3）
BE方=M方/9+4N方/9=16
BF方=4M方/9+N方/9=9
AC=M方+N方=（16*9+9*9）/5=5*9
AC=3根号5

此题方法，对于图形中的计算，要用代数方法解决，本题条件较少，则建立直角坐标系，使条件丰富起来。
这种方法，在高中阶段是一种基本方法。

Answer 3

过两个三等分点向某一直角边做垂线可以得到两个小直角三角形。设两直角边的边长分别为x,y。则两个三角形边长为x/3,2y/3,3和2x/3,y/3,4(也可以3和4交换一下)。则有：
(x/3)^2+(2y/3)^2=3^2
(2x/3)^2+(y/3)^2=4^2
两式相加得：5/9(x^2+y^2)=25,所以x^2+y^2=45,即斜边长为3√5。