Question

求解一道高中数列题 高手进！急！在线等！

数列{an}的通项为n，已知正数项{bn}满足bn=a^[(an)-1]记{bn}的前n项和为Tn，当an是am,ak的等差中项时，试比较Tam+Tak与2Tan的大小。
试卷上就是这么写的，我实在是想不出来。请高手解答！ O(∩_∩)O谢谢！
大家都来帮帮忙啊 分数不是问题 我刚刚又加了20分！

Answer 1

因为an=n
所以bn=a^（n-1）（可以理解为首项为1，a为公比的等比数列）
因为am+ak=2an
所以m+k=2n
Tam+Tak-2Tan=（2a^n-（a^m+a^k））/（1-a）（这一步你自己算吧！这样写太麻烦）
a^m+a^k大于等于2根号（a^（m+k））
m+k=2n
所以a^m+a^k大于2a^n（m不可能等于k,因此不可能取到等号）
即2a^n-（a^m+a^k）小于0
所以当a小于1时，Tam+Tak小于2Tan
当a大于1时，Tam+Tak大于2Tan

Answer 2

bn=a^[(an)-1]=a^(n-1) (等比数列)
Tn=a(1-a^n)/(1-a)
an=n,am=m,ak=k.且m+k=2n (等差中项)
Tam+Tak=a(2-a^m-a^k)/(1-a)
2Tan=a(2-2a^n)/(1-a)
比较Tam+Tak与2Tan的大小，就是比较2-a^m-a^k与2-2a^n的大小
即比较2a^n与a^m+a^k的大小。
根据均值不等式，a^m+a^k≥2根号(a^m*a^k)=2a^((m+k)/2)=2a^n
所以Tam+Tak≥2Tan