解:∵抛物线解析式为y=ax²+bx+5 又∵抛物线过点A(-5，0)与点B(1，0) ∴有0=25a-5b+5，0=a+b+5，得:a=-1，b=-4 ∴抛物线解析式为y=-x²-4x+5，点C为(0，5)
∵点A为(-5，0)，点C为(0，5) ∴直线AC的方程为y=x+5∵点K为抛物线上一点，且横坐标为m ∴设点K为(m，-m²-4m+5)，点K到AC的距离=|m-(-m²-4m+5)+5|/√[1²+(-1)²]，d=|m²+5m|/√2 ∵-5＜m＜0 ∴d=-(m²+5m)/√2，d=-[(m+2.5)²-2.5²]/√2，d=[-(m+2.5)²+6.25]/√2 ∴当m=-2.5时，有max d=25√2/8 ∴点K到直线AC的最大距离为25√2/8
∵点p为抛物线上一点，点Q为抛物线对称轴上一点 ∴设点P为(u，-u²-4u+5)，点Q为(-2，v) 设四边形PQAC为平行四边形，若PQ//AC，则PQ=AC ∴有1=(-u²-4u+5-v)/[u-(-2)]，且(5√2)²=[u-(-2)]²+(-u²-4u+5-v)²，化为50=(u+2)²+(u+2)²，得:u=3或-7
∵1=(-u²-4u+5-v)/(u+2)，化为v=-u²-5u-3
∴得:v=-27或-17 ∴有点P为(3，-16)，点Q为(-2，-27)或点P为(-7，-16)，点Q为(-2，-17)
若PQ与AC相互平分，则线段AC的中点为线段PQ的中点 ∵线段AC的中点为(-2.5，2.5) ∴有[u+(-2)]/2=-2.5，(-u²-4u+5+v)/2=2.5，化为u=-3，v=u²+4u ∴得:u=-3，v=-3 ∴点P为(-3，8)，点Q为(-2，-3)
抛物线与直线
请参考，希望对你有帮助
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2024-12-31 广告
【求解答案】
1，二次函数的解析式：y=-x²-4x+5
2，点K到直线AC的垂直距离的最大值为25√(2)/8=4.4194
3，□ACPQ平行四边形存在，符合该条件的点P坐标（-3，8）。
【求解思路】
1）、求二次函数的解析式.
由于y=ax²+bx+5方程含有两个未知系数a和b，则可以将已知两点A和B的坐标值，代入方程中，得到一组线性方程组，解该方程组即可求得a和b。
2）、点K到直线AC的垂直距离最大值
已知点K在二次函数图像上，可以设点K的坐标值为（x0,y0）,根据点到直线的距离公式，有
创建L(x0)函数，求其一阶导数并令其为零，得到其极值。
3）、先假设点P坐标（x1,y1）,点Q坐标（-2,y2）,如AP∥QC，AQ∥PC，即满足
根据平行四边形性质，可以判断□APCQ是平行四边形。
【求解过程】解：
1）、求二次函数的解析式.
已知两点A（-5，0）和B（1，0）的坐标值，则
当x=-5,y=0时，有 25a-5b+5=0 (1)
当x=1,y=0时，有 a+b+5=0 (2)
解由式 (1)和式 (2)组成方程组，得
a=-1，b=-4
所以，所求的二次函数的解析式为
y=-x²-4x+5
2）点K到直线AC的垂直距离
根据两点式直线方程，可得到AC直线方程
y=x+5
已知点K在二次函数图像上，可以设点K的坐标值为（x0,y0）,根据点到直线的距离公式，有
3）假设点P坐标（x1，y1）,点Q坐标（-2，y2）,如£APCQ是平行四边形，根据平行四边形性质，有AP∥QC，AQ∥PC，即满足
由此，□ACPQ平行四边形是存在的，符合该条件的点P坐标（-3，8）。
【本题知识点】
1、点到直线的距离。
2、两点式直线方程。用直线上两点坐标表示的直线方程。
3、函数极值条件。
1）、一元函数的极值。如果函数f(x)在点x0的某一邻域内满足f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值；如果函数f(x)在点(x0)的某一邻域内满足f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值。点(x0)称为极值点。
2、极值的判定。可以根据第一充分条件和第二充分条件来判断。
第一充分条件：设y=f(x)在x0的某一邻域可导，且f'(x0)=0或f'(x0)不存在，如果y'在x0的两侧异号，则f(x0)为极值；如果y'在x0的两侧同号，则f(x0)非极值。
第二充分条件：设y=f'(x0)=0，f"(x0)存在，且f"(x0)≠0，如果f"(x0)>0，则f(x0)为极小值；如果f"(x0)<0，则f(x0)为极大值。
