Question

如何证明一个矩阵可逆？

Answer 1

证法一：

反对称矩阵A,满足A'=-A,设a为A的特征值,x为对应特征向量.则是Ax=ax.

对任一向量都有x'Ax=0(因为x'Ax是一个数,数的转置是它本身,就有x'Ax=(x'Ax)'=x'A'x=-x'Ax,

看等式两边),尤其x为特征向量时也成立,则ax'x=x'Ax=0.其中x为非零向量.

同理A的共轭也是反对称阵,且特征值为a共轭,对应特征向量为x共轭,就有a共轭x'共轭x共轭=0

由ax'x=0,则a为0,或纯虚数(这要考虑x为复向量时,x'x的情况才能得出结论).

证法二：

设A反称，且AX=λX,(X!=0)

则（X的共轭转置)AX=λ（X的共轭转置)X=λ|X|^2

两边取转置，并注意到A实反称，则有-（X的共轭转置)AX=λ（X的共轭转置)X=（λ的共轭）|X|^2

两式相加得：【λ+（λ的共轭）】*|X|^2=0

因为X是特征向量，！=0，所以：【λ+（λ的共轭）】=0

扩展资料：

1、每一个线性空间都有一个基。

2、对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

3、矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

4、矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

5、矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

6、矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

7、解线性方程组的克拉默法则。

8、判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

参考资料来源：百度百科-线性代数