Question

求∫e^ xsinxdx怎么用积分推导？

Answer 1

【求解答案】

【求解思路】

1、运用凑微分法把e^x看成的d（e^x），再运用分部积分法公式，进行计算

2、重复上述方法，再进行计算

3、将含有∫e^xsinxdx的移至左边，并合并，最后得到其积分值

【求解过程】

【本题知识点】

1、不定积分。

设f(x)在某区间I上有定义，如果存在函数F(x)，使得对于任一x∈I，成立F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的原函数，且f(x)的不定积分为

∫f(x)dx=F(x)+C

式中：∫——积分号，f(x)dx——被积式，f(x)——被积函数，F(x)——原函数，C——积分常数

注意：如果将求导看成一种运算，那么积分是其逆运算，也就是已知f(x)，要找一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，所以相对而言，积分比求导要困难。

2、分部积分法。

分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

简写形式

微分形式

3、凑微分法。

凑微分法，把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法，换元积分两种方法中第一类换元积分法的别称。

本题中，d(e^x)就是凑微分的形式，把(e^x)可以看成是一个新的变量。

4、本题的基本积分公式和微分公式。

5、化简时，所用两角和的三角函数公式

Answer 2

分部积分法，这个方法确实是利用乘法导数推导出来的
∫e^xsinxdx
=∫sinxde^x
=sinxe^x-∫e^xdsinx
=sinxe^x-∫cosxe^xdx
=sinxe^x-∫cosxde^x
=sinxe^x-(cosxe^x-∫e^xdcosx)
=sinxe^x-cosxe^x-∫sinxe^xdx
2∫e^xsinxdx=sinxe^x-cosxe^x
∫e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)/2