Question

已知abc均为正实数，且a+b+c=1,求证（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)大于等于8

Answer 1

1/a-1=(a+b+c)/a-1=(b+c)/a≥2【√(bc)】/a。

1/b-1=(c+a)/b≥2【√(ca)】/b。

1/c-1=(a+b)/c≥2【√(ab)】/c。

(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥2【√(bc)】/a*2【√(ca)】/b*2【√(ab)】/c。

=8abc/abc=8。

当且仅当a=b=c=1/3时取等号。

简介

正数是数学术语，比0大的数叫正数（positive number），0本身不算正数。正数与负数表示意义相反的量。正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写，负数用负号（Minus Sign，即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。

在数轴线上，正数都在0的右侧，最早记载正数的是我国古代的数学著作《九章算术》。在算筹中规定"正算赤，负算黑"，就是用红色算筹表示正数，黑色的表示负数。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

Answer 2

这个题证法很多，给你两种：
证法一：
1/a-1=(a+b+c)/a-1=(b+c)/a≥2【√(bc)】/a
1/b-1=(c+a)/b≥2【√(ca)】/b
1/c-1=(a+b)/c≥2【√(ab)】/c
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥2【√(bc)】/a*2【√(ca)】/b*2【√(ab)】/c
=8abc/abc=8
当且仅当a=b=c=1/3时取等号。

证法二：
因为a+b+c=1，
所以(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)
=[(a+b+c)/a-1][(a+b+c)/b-1][(a+b+c)/c-1]
=(1+b/a+c/a-1)(1+a/b+c/b-1)(1+a/c+b/c-1)
=(b/a+c/a)(a/b+c/b)(a/c+b/c)
≥(2bc/a^2)(2ac/b^2)(2ab/c^2)
=8
当且仅当a=b=c=1/3时取等号。

Answer 3

将1代换为a+b+c
即（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)
=（(a+b+c)/a-1)((a+b+c)/b-1)((a+b+c)/c-1)
=(b+c)/a*(a+c)/b*(a+b)/c
=(a+b)*(b+c)*(a+c)/(abc)

均值定理a+b>=2*根号ab
a+c>=2*根号ac
b+c>=2*根号bc
三个不等式相乘(a+b)*(b+c)*(a+c)>=8(abc)
所以(a+b)*(b+c)*(a+c)/(abc)>=8
所以（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8

Answer 4

明明是负数，怎么可能大于等于8