Question

【高中数学问题】什么是“双勾函数”？能举些例子教下我吗？

谢！

Answer 1

双勾函数
在高中数学中函数f（x）=ax＋b/x（a,b）〉0）经常会遇到，因为利用它可以考查不等式、最值、函数的单调性、函数的值域等问题．由于它的图象在直角坐标系中的形状大致像两个关于原点对称的’双勾”，所以往往被人们亲切的称为“双勾”函数。
表达式： y=x+p/x

当函数表达式为y=qx+p/x，我们可以提取出 q ，使它成为 y=q(x+ p/q/x) ,这样依旧可以由性质上去观察函数。
性质: 当p>0时,它的图象是分布在一、三象限的两条抛物线，都不能与X轴、Y轴相交，为奇函数。

对于第一象限的情况：以（√p,2√p）为顶点，在（0，√p]上是减函数，在[√p，+∞）上是增函数，开口向上；

第三象限内以（-√p,-2√p）为顶点，在（－∞，-√p],是增函数，在[-√p,0)是减函数，开口向下。

其中顶点的纵坐标是由对函数使用均值不等式后得到的。

值得注意的是：

在第一象限的图像，当x越小，即越接近于0时，

图像左侧就越趋向Y轴+∞，但不相交;

当x越大，即越趋向+∞时，

图像右侧就越接近直线y=x正半支，但不相交。

同理：

在第三象限的图像，当x越大，即越接近于0时，

图像右侧就越趋向Y轴－∞，但不相交;

当x越小，即越趋向－∞时，

图像左侧就越接近直线y=x负半支，但不相交。

即渐近线有Y轴，和直线y=x。
性质: 当p>0时,它的图象是分布在一、三象限的两条抛物线，都不能与X轴、Y轴相交，为奇函数。

对于第一象限的情况：以（√p,2√p）为顶点，在（0，√p]上是减函数，在[√p，+∞）上是增函数，开口向上；

第三象限内以（-√p,-2√p）为顶点，在（－∞，-√p],是增函数，在[-√p,0)是减函数，开口向下。

其中顶点的纵坐标是由对函数使用均值不等式后得到的。

值得注意的是：

在第一象限的图像，当x越小，即越接近于0时，

图像左侧就越趋向Y轴+∞，但不相交;

当x越大，即越趋向+∞时，

图像右侧就越接近直线y=x正半支，但不相交。

同理：

在第三象限的图像，当x越大，即越接近于0时，

图像右侧就越趋向Y轴－∞，但不相交;

当x越小，即越趋向－∞时，

图像左侧就越接近直线y=x负半支，但不相交。

即渐近线有Y轴，和直线y=x。
顶点： 第一象限：(√p，2√p)

第三象限：(-√p，-2√p)