Question

非齐次线性方程组系数矩阵的秩为什么等于其增广阵的秩?

谢谢你的回答，我想问的不是这个意思，是关于清华版线代二版 p138 r(a1 a2 a3.....an b)=r(a1 a2 a3 ....an)的叙述，即向量B可以由矩阵A的列向量线性表示，那么是否有rA=r（A,B）。也就是向量组X(a1 a2 a3...an ,b)，Y(a1 a2 a3...an)自己可以证明b可由Y线性表示，则rX=rY.是否有这个定理，书上却没有证明，直接叙述。不明白书上所要表达的意思~~~~~

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Answer 1

首先增广矩阵的秩一定不小于系数矩阵的秩（因为这只不过是增加了一个列向量）。若增广矩阵的秩大于系数矩阵，则可通过高斯消去法将系数对角化，这将有0=b≠0的情况，矛盾！此时方程无解。若秩相等，方程有解很容易证明且解空间为齐次方程解空间关于某个解向量的平移。

Answer 2

是这样

“即向量B可以由矩阵A的列向量线性表示，有rA=r（A,B）”这个命题是对的

设A的列向量的极大无关组为β1,……βr,则这r个向量不仅可以表示A的列向量，由于B可有A的列向量线性表出，故B可由β1,……βr线性表出，故rA=r（A,B）=r