Question

1到n的平方和数列求和

1²+2²+3²+……+n²=?

Answer 1

1²＋2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

利用恒等式（n+1)³=n³+3n²+3n+1，可以得到：

(n+1)³-n³=3n²+3n+1

n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1

3³-2³=3*(2²)+3*2+1

2³-1³=3*(1²)+3*1+1

把这n个等式两端分别相加，得：

(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+.+n²)+3(1+2+3+...+n)+n

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2

代入上式得：n³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+.+n²)+3(n+1)n/2+n

整理后得：1+2+3+.+n=n(n+1)(2n+1)/6

数列求和方法

数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。求Sn实质上是求{an}的通项公式，应注意对其含义的理解。常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要有一定的技巧。

Answer 2

解：利用恒等式(n+1)³=n³+3n²+3n+1,可以得到：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
......
3³-2³=3*(2²)+3*2+1
2³-1³=3*(1²)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1²+2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

解:利用恒等式(n+1)³=n³+3n²+3n+1,可以得到:
(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
......
3³-2³=3*(2²)+3*2+1
2³-1³=3*(1²)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得:
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得:
n³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+....+n²)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1²+2²+3²+....+n²=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 4

1²+2²+3²+……+n²
=n*(n+1)*(n+2)/6
另外，1到n的立方和数列求和为
=n*n*(n+1)*(n+1)/4

Answer 5

可以得出这个推导公式 n(n+1)(2n+1)/6