数学建模论文
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自来水的定价问题分析
摘 要：
水是人类的生命之源，自来水的价格关系到千家万户，提高水价会影响到人民的生活，甚至会影响到社会的安定和经济的发展。所以，国家和政府对水价调整是慎之又慎。
本文针对 市的自来水调价问题进行了合理的分析和假设，考虑到实际生活中居民为满足基本生活需求有必需的用水量，我们假定居民的用水量由固定部分和可变部分两部分组成，建立了两种模型。模型一中，我们在未考虑居民收入的前提下，引入了居民用水量的分布，在不同区间上对阶梯价格进行了分析；模型二中，我们考虑了居民收入对用水量的影响，并假定居民收入和用水量服从二维正态分布，对调价方案的合理性进行了分析评价。
对于问题一，我们利用模型一按每户平均四人求解，得到：水价级差为 的方案，节约用水量约为10728万吨，节约率约为8.76%，自来水公司的利润约为8.2亿，居民用于购水的费用约占人均可支配收入的0.861%；水价级差为 的方案，节约用水量约为10992万吨，节水率约为8.97%，自来水公司的利润约为8.3亿，居民用于购水的费用约占人均可支配收入的0.878%。问题一的计算结果说明通过价格调整使自来水公司得到了利润，并间接为南水北调工程筹集了资金，限制了高耗水行业的用水量，从而达到了节约用水的目的。
对于问题二和问题三，仍然使用模型一求解，得到：调整后的水价级差为1∶4∶5，此时节水量约为11256万吨，节约率为9.19%，自来水公司的利润约为8.6亿，居民用于购水的费用约占居民可支配收入的0.94%；同时，我们采用计算机模拟的方法验证了模型二的可行性。由计算结果可以看出，我们所建议采用的方案优于题中所给方案，建议采纳。
关键词：正态分布 阶梯价格 弹性系数 供求关系
一 问题重述（略）
二 条件假设
1 假设自来水价格调整方案是在水资源费和污水处理费调整方案确定的前提下进行的。
2 假设在供水和用水过程中的水损失相同，各占总水损失量的一半。
3 假设2006年国家对自来水所征税费不变。
4 假设居民用水至少满足基本生活用水需求。
5 假定居民的用水有不变部分和可变部分组成。
三 符号说明
符号 含义 单位
调整前的水资源费
调整后的水资源费
用户的用水总量 吨
用户花销总和 元
市居民户数
户
水资源费的弹性系数
水费支出占家庭总支出的比例
不满意用户所占比例
税率
自来水集团水资源的利用率
自来水集团年取水总量 吨
自来水集团年自来水销售总量 吨
调整前的用水量 吨
调整后的用水量 吨
四 问题分析
4.1 问题背景的理解
由于自来水供水成本增加，同时为了给南水北调工程筹资和限制高耗水行业，自来水调价势在必行。
首先，近年来由于 市供水成本增加，自来水集团面临亏损。同时， 市水资源匮乏，水质恶化，为了改善这个局面，国务院已决定修建南水北调工程，从湖北省丹江口引水，调长江水北上，解决 市及各沿线省、市的缺水问题，而南水北调工程资金需要从自来水销售价格中筹集。另外，为了有效地利用 市的水资源，最大限度发挥水资源的效益，需要通过自来水销售价格的调整来实现限制高耗水行业的发展，保证居民生活用水的供应和城市经济发展对水的需求。基于这样三个原因， 市急需调整水价。
其次，为建立节水型水价体系，同时促进社会经济环境的协调发展和为节水型社会的建立奠定基础，实行阶梯型水价，提高居民的节水意识，对居民过度使用的自来水部分收取一种“惩罚性”水价是十分有必要的。
此外，未来几年是污水处理设施建设的高峰期，但是，污水处理设施建设资金需求量较大，污水处理出水水质标准提高，污水处理量增加，使得污水处理厂所需的资金投入量增大，利润降低，甚至亏损。在国家大力扶持污水处理厂发展指导方针下，提高污水处理费也是十分必要的。
居民所缴纳的水费由自来水费和污水处理费两部分组成，由于自来水费和污水处理费都有所增加，提高居民水价就显得十分必要；同时，非居民用水也应分行业提价，达到调整 市产业结构的目的，此外，为建立节水型水价体系也有必要实行阶梯型水价。
4.2 对问题一的分析
水价政策的改革目标是：其一，充分发挥政府调控水资源的经济杠杆功能，引导产业结构的调整，同时不影响人民的正常生活；其二，维护国家的权益不受损失，确保水资源费上缴国库；其三，建立节水型水价体系，为节水型社会建立奠定基础，促进社会经济环境的协调发展。目前大部分自来水集团都在亏损运转，提高水价势必会影响到人民的生活，甚至会影响到社会的安定和经济的发展。
根据水价政策的三个改革目标，我们考虑可用以下3个指标来分析评价 市价格部门提出的调整方案：
指标1：尽可能多的增加节约用水量，从而达到节约水资源的目的。
指标2：价格调整在居民能够接受的范围内，从而做到不影响居民正常生活，保证社会的安定和经济的发展。
指标3：价格调整可保证自来水集团盈利，从而达到改变自来水集团亏损运转局面的目的。
在以上3个指标中，指标2和指标3是硬性指标，合理的价格调整方案必须满足；而指标1具有一定的弹性，但是，一个合理的价格调整方案决不能与节水相违背，浪费水的现象是不允许出现的。
4.3 对问题二的分析
水价的调整方案是由 市价格部门权衡各方面因素的影响而最终给出的，而价格部门属于政府部门。作为政府，调整水资源费和污水处理费应该是调整水价的第一步，自来水价的最终调整方案应在水资源费和污水处理费涨幅确定的前提下给出。调整水价时，应该考虑在保证自来水集团盈利和居民可接受的前提下尽可能多的节约用水。
基于上述原因，我们考虑在提出调整方案时同时考虑节约用水、自来水集团盈利和居民可接受这三个因素，其中，自来水集团盈利和居民可接受是前提，在这个前提下尽可能多的节约用水是目的。而要实现节水，具有可行性且容易操作的办法就是实行阶梯水价。所以，对于此问题我们的方案仍然是基于阶梯水价，在阶梯水价的前提下我们尝试给出更合理的水价方案。
4.4 对问题三的分析
由于水资源是准商品，其价格的变化会引起需求量的变化，在经济学上能够很好反映这方面变化的模型就是“供求定价模型”。所以，对问题三，我们考虑建立“供求定价模型”对新的水价方案实施后的节水量进行预测。
五 模型建立
5.1 问题的模型
水是关系国计民生的重要资源，提高水价会影响到人民的生活，但是目前大部分自来水公司都在亏损运转，因此供水部门也应在适当的价格变化范围内盈利经营；同时，水资源是一种稀缺资源，调节水价可在一定程度上对社会上的用水行为进行调节，从而达到节约用水的目的。所以说，在制订调价方案时，应同时考虑利润问题和用水问题。
我们将供水作为商品，则它满足供求定价模型，当水的价格由 变化为 时，用户的用水量 为：
其中 为水的价格弹性系数。
对整个问题的分析，我们分别从是否考虑居民收入影响两个不同方面出发建立了两个不同的模型。
5.1.1不考虑收入影响的模型一
假定用水量为 的用户在占总人口比例为 ，它满足正态分布，即有： ，用户的用水量为 ，设居民户数为 。
方案一：当所用方案为单一水价时：
① 若居民的原用水量 ，水价由 变为 ，此时用水量为 ，
此部分用户的用水量为:
此部分用户的总花销为：
② 若居民的原用水量 ，水价由 变为 ，可视 为居民用水的固定部分，此时用水量为 ，此部分用户的用水量为：
此部分用户的总花销为：
③ 若居民的原用水量 ，水价由 变为 ，可视 为居民用水的固定部分，此时用水量为 ，此部分用户的用水量为：
此部分用户的总花销为：
全体用户的用水量总和以及用户花销总和分别为：
方案二：当所用方案为阶梯水价 时：
① 若用户的原用水量 ，水价由 变为 ，则有：
此部分用户的用水总量为：
此部分用户的总花销为：
② 若用户的原用水量 ，水价由 变为 ，此时用户用水需求量大于 ，只有 部分受到限制，则有：
此部分用户的用水总量为：
此部分用户的总花销为：
③ 若用户的原用水量 时，水价由 变为 ，此时用户用水需求量大于 ，只有 部分受到限制，则有：
此部分用户的用水总量为：
此部分用户的总花销为：
全体用户的用水量总和以及用户花销总和分别为：
5.1.2 考虑收入影响的模型二：
假定用水量为 收入为 的用户在总人口中所占比例 满足二维正态分布，则有：
且满足：
，
假设水费支出占家庭总支出的比例为 ， ，满足：
方案一：当所用方案为单一水价时：
① 若用户的原用水量 ，水价由 变为 ，此时分两种情况考虑：
当 时，用户不考虑水价的影响，用水量仍为 ；
当 时，用户考虑水价的影响，用水量为 ，且当 时用户有不满情绪。
则此部分用户的用水总量为：
节约用水的用户总数为：
有不满情绪的用户总数为：
此部分用户的总花销为：
② 若原来用户的用水量 ，居民的用水量大于 ，只有 部分受限制，水价由 变为 ，此时分两种情况考虑：
当 时，用户不考虑水价的问题，用水量仍为 ；
当 时，用户考虑水价，用水量为 ，且当 用户会有不满情绪。
此部分用户的用水总量为：
节约用水的用户总数为：
有不满情绪的用户总数为：
此部分用户的总花销为：
③ 若用户的原用水量 ，用户的用水量大于 ，只用 部分受到限制，水价由 变为 ，此时分两种情况考虑：
当 时，用户不考虑水价的影响，用水量仍为 ；
当 时，用户考虑水价的影响，用水量为 ，且当 用户会有不满情绪。
此部分用户的用水总量为：
节约用水的用户总数为：
有不满情绪的用户总数为：
此部分用户的总花销为：
全体用户的用水量总和、用户花销总和以及用户的不满意比例分别为：
方案二：当所用方案为阶梯水价 时：
① 若用户的原用水量 ，水价由 变为 ，此时分两种情况考虑：
当 时，用户不考虑水价的影响，用水量仍为 ；
若满足 时，用户考虑水价的影响，用水量为 ，且当 时用户有不满情绪。
则此部分用户的用水总量为：
可算出节约用水的用户总数为：
有不满情绪的用户总数为：
此部分用户的总花销为：
② 若原来用户的用水量 ，居民的用水量大于 ，只有 部分受限制水价由 变为 ，此时分两种情况考虑：
若 时，用户不考虑水价的问题，用水量仍为 ；
若 ，用户会考虑水价，用水量为 ，且当 ，用户会有不满情绪。
此部分用户的用水总量为：
节约用水的用户总数为：
有不满情绪的用户总数为：
此部分用户的总花销为：
③ 若用户的原用水量 ，用户的用水量大于 ，只用 部分受到限制，水价由 变为 ，此时分两种情况考虑：
当 时，用户不考虑水价的问题，用水量仍为 ；
当 时，用户考虑水价，用水量为 ，且当 会产生不满情绪。
此部分用户的用水总量为：
节约用水的用户总数为：
有不满情绪的用户总数为：
此部分用户的总花销为：
全体用户的用水量总和、用户花销总和以及用户的不满意比例分别为：
六 模型求解
6.1 问题一的求解
由5.1中所建立的模型一，我们根据题目中给出的具体数据对其进行求解。
考虑指标1:
市自来水集团建议，按四口人家庭确定阶梯水价中基数水量更符合 市实际情况，所以可以认为 市每户平均四人。阶梯水价体现的居民人均月用水量为3吨，这样每户月平均用水量为12吨，故取 。另外，假设每个居民月用水量在1.5到4.5吨之间，每户月用水量在6到18吨之间，根据3 原则，模型一中应取 。
对于 市价格部门给的阶梯水价 ，
模型一中 ， ， ， ， ， ，用户数 按附件三中数据求出为 ，弹性指数 取全国平均值 。
对于居民用水，按照以上数据对模型一采用梯形公式将求积区间10000等分并借用Matlab求解,得到结果如下:
① 当阶梯水价比例取1:2:5时，解得:
故每户月平均用水为：11.3447 ,居民用水平均价格为： ,每月节水量为 。
② 当阶梯水价比例取1:3:5时，解得:
故每户月均用水为每月11.2869吨，居民用水平均价格为 ，每月居民节水量为 。
比较两种结果可知，阶梯水价比例为 时居民承担的平均水价较低，而比例为1:3:5时节水量明显提高。
由于平均水价由居民水价和非居民水价两部分分构成，有:
平均水价=居民水价 44.53%+非居民水价 55.47%，
可求出非居民用水平均自来水价为3.58元；调整后非居民用水平均自来水价为4.59元，另外非居民用水污水处理费由1.2元变为1.5元，所以非居民用水的价格从4.78元变为6.09元,我国非居民用水的平均弹性指数一般为 。
则非居民月平均用水总量为:
(居民月用水量/44.53%) (1-44.53%)=5663万吨
由供求定价关系 求得调整后非居民月平均用水总量为5017万吨。非居民用水月平均节约水量为646万吨。所以，比例为1:2:5时月总节水为894万吨,年总节水量为10728万吨,节水比例为8.76%；比例为1:3:5时月总节水为916万吨,年总节水量为10992万吨，节水比例为8.97%。总的来说两种方案都达到了节水的目的,从而指标1得到满足。
考虑指标2:
根据附录3，居民年平均可支配收入为17653元，由上面计算结果，当比例为1:2:5时,居民年用水平均开支为152元；当比例为1:3:5时，居民年用水平均开支为155元，分别占人均可支配收入的0.861%和0.878%。由于该市居民的恩格尔系数为31.8%，居民富裕程度较高,因而上面两种水价方案应均可被接受，从而指标2得到满足。
考虑指标3:
自来水供水价格应包含自来水水费和污水处理费用两部分，即：
由于污水处理费用被污水处理集团收取，自来水集团盈利仅来源于自来水水费，因此计算自来水集团盈利时只需考虑自来水水费部分。
按照有关法规规定：
当前税率 可定义为：
水资源费是按自来水取水量征收，由自来水集团缴纳的。由于自来水行业在供、销过程中存在着不可避免的水量损失，造成自来水取水量与售水量之间的产销差率，这部分的差额只能由自来水企业承担，减少了企业利润，定义自来水集团水资源利用率 可定义为：
假设取水和供水过程所造成的水损失各占水损失总量的一半，则有：
自来水厂按售水量的单位利润可以表示为：
(**)利用题目中所给数据可求得税率为：
与税法规定税率应在13%左右基本稳合.
根据上一年自来水公司盈亏平衡即单位利润为0的条件，以及平均价格为3.01元，自来水成本1.37元，平均水资源费0.81元，利用公式(**)可求得利用率为：
即损失率为 ,与我国自来水公司当前平均损耗20%符合。
根据以上公式可求出当比例为1:2:5时自来水平均价格为:
平均水资源费为：1.37元。
所以由公式(**)可求得:单位利润为0.735元，年利润约为8.2亿。
同样可以求得当比例为 时，自来水平均价格为4.116 ,
所以由公式(**)可求得:单位利润为0.735元，年利润约为8.3亿。
对阶梯水价的详细评价:
在不考虑阶梯水价时,居民用水平均价格由2.9元变为3.7元，居民用水弹性系数 ,调整前居民用水总量为3 12 常住人口=54552万吨，由供求价格关系.可求出调价后居民年用水总量为52688万吨，年节约用水1864万吨。
而考虑阶梯水价时居民用水年节约用水在1：2：5和1：3：5两种方案下分别为2976万吨和3240万吨。由数据可见阶梯水价明显提高了居民节水量。
不考虑阶梯水价时可求得自来水平均价格为：
由公式(**)可求得:单位利润为0.436元，年利润约为4.9亿。
由此可见阶梯水价提高增加了自来水公司的利润。阶梯水价下居民用水平均价格升高，作为居民满意度应该有所降低。
6.2 问题二和问题三的求解
按模型一进行求解，仍取 ， ， ， ， 。
对不同的 ， ，采用计算机模拟求解得到以下30组数据：
比例
1:2:5 4.0665 4.5581 2.7201 15.0460 18.5719 16.9684 11.3447 50.6063
1:2:6 4.0665 4.5581 2.7201 15.0460 18.5719 15.5260 11.3447 49.1639
1:2:7 4.0665 4.5581 2.7201 15.0460 18.5719 15.9375 11.3447 49.5754
1:2:8 4.0665 4.5581 2.7201 15.0460 18.5719 16.3300 11.3447 49.9679
1:2:9 4.0665 4.5581 2.7201 15.0460 18.5719 16.7066 11.3447 50.3445
1:2:10 4.0665 4.5581 2.7201 15.0460 18.5719 17.0696 11.3447 50.7075
1:3:5 4.0665 4.5003 2.7096 15.0460 19.6394 17.4398 11.2764 52.1252
1:3:6 4.0665 4.5003 2.7096 15.0460 19.6394 17.8748 11.2764 52.5602
1:3:7 4.0665 4.5003 2.7096 15.0460 19.6394 18.2863 11.2764 52.9717
1:3:8 4.0665 4.5003 2.7096 15.0460 19.6394 18.6788 11.2764 53.3642
1:3:9 4.0665 4.5003 2.7096 15.0460 19.6394 19.0553 11.2764 53.7407
1:3:10 4.0665 4.5003 2.7096 15.0460 19.6394 19.4183 11.2764 54.1037
1:4:5 4.0665 4.4638 2.7011 15.0460 20.5896 19.7886 11.2314 55.4242
1:4:6 4.0665 4.4638 2.7011 15.0460 20.5896 20.2235 11.2314 55.8591
1:4:7 4.0665 4.4638 2.7011 15.0460 20.5896 20.6350 11.2314 56.2706
1:4:8 4.0665 4.4638 2.7011 15.0460 20.5896 21.0275 11.2314 56.6631
1:4:9 4.0665 4.4638 2.7011 15.0460 20.5896 21.4041 11.2314 57.0397
1:4:10 4.0665 4.4638 2.7011 15.0460 20.5896 21.7671 11.2314 57.7627
1:5:6 4.0665 4.4377 2.6941 15.0460 21.4655 22.5723 11.1983 59.0838
1:5:7 4.0665 4.4377 2.6941 15.0460 21.4655 22.9838 11.1983 59.4953
1:5:8 4.0665 4.4377 2.6941 15.0460 21.4655 23.3763 11.1983 59.8878
1:5:9 4.0665 4.4377 2.6941 15.0460 21.4655 23.7529 11.1983 60.2644
1:5:10 4.0665 4.4377 2.6941 15.0460 21.4655 24.1158 11.1983 60.6273
1:6:7 4.0665 4.4178 2.6882 15.0460 22.2850 25.3325 11.1725 62.6635
1:6:8 4.0665 4.4178 2.6882 15.0460 22.2850 25.7250 11.1725 63.0560
1:6:9 4.0665 4.4178 2.6882 15.0460 22.2850 26.1016 11.1725 63.4326
1:6:10 4.0665 4.4178 2.6882 15.0460 22.2850 26.4646 11.1725 63.7956
1:7:8 4.0665 4.4019 2.6831 15.0460 23.0604 28.0738 11.1515 66.1802
1:7:9 4.0665 4.4019 2.6831 15.0460 23.0604 28.4504 11.1515 66.5568
1:7:10 4.0665 4.4019 2.6831 15.0460 23.0604 28.8134 11.1515 66.9198
由以上数据可以看出用户平均每月用水量随 的变化而变化，当 取定 增大时，用户月平均用水价格增大，要实现节水最终还是需要调整 ，而 过大时居民用水价格便会过高，自来水公司将会获得暴利。由问题一求解中对阶梯水价的评价，采用阶梯水价只会提高自来水公司的利润，而未采用阶梯水价时自来水公司已经有了相当的利润，因而选择比例时应以尽可能多的节约用水为目的，并且尽量的压低自来水公司利润的增长幅度，同时保证居民可以接受。
所以综合各种因素我们选取比例1：4：5作为我们的方案提供给政府部门。
当选取比例1：4：5时：
居民用水年节水量为：292 12=3504万吨;
年总节水量为：646 12+3504=11256万吨;
节水率为：9.19%;
居民平均水价为：4.93
自来水厂利润为：8.6亿
居民用于购水的费用占居民可支配收入的比例为：0.94%
按模型二进行求解时，由于题目所给数据不足，此模型中用到的正态分布的几个参数很难确定，因而很难给出供政府部门参考的方案，不过我们通过计算机模拟的办法说明了模型确实具有合理性，具体原程序和程序见附录1。
七 模型优缺点分析（略）
八 参考文献（略）
摘 要：
水是人类的生命之源，自来水的价格关系到千家万户，提高水价会影响到人民的生活，甚至会影响到社会的安定和经济的发展。所以，国家和政府对水价调整是慎之又慎。
本文针对 市的自来水调价问题进行了合理的分析和假设，考虑到实际生活中居民为满足基本生活需求有必需的用水量，我们假定居民的用水量由固定部分和可变部分两部分组成，建立了两种模型。模型一中，我们在未考虑居民收入的前提下，引入了居民用水量的分布，在不同区间上对阶梯价格进行了分析；模型二中，我们考虑了居民收入对用水量的影响，并假定居民收入和用水量服从二维正态分布，对调价方案的合理性进行了分析评价。
对于问题一，我们利用模型一按每户平均四人求解，得到：水价级差为 的方案，节约用水量约为10728万吨，节约率约为8.76%，自来水公司的利润约为8.2亿，居民用于购水的费用约占人均可支配收入的0.861%；水价级差为 的方案，节约用水量约为10992万吨，节水率约为8.97%，自来水公司的利润约为8.3亿，居民用于购水的费用约占人均可支配收入的0.878%。问题一的计算结果说明通过价格调整使自来水公司得到了利润，并间接为南水北调工程筹集了资金，限制了高耗水行业的用水量，从而达到了节约用水的目的。
对于问题二和问题三，仍然使用模型一求解，得到：调整后的水价级差为1∶4∶5，此时节水量约为11256万吨，节约率为9.19%，自来水公司的利润约为8.6亿，居民用于购水的费用约占居民可支配收入的0.94%；同时，我们采用计算机模拟的方法验证了模型二的可行性。由计算结果可以看出，我们所建议采用的方案优于题中所给方案，建议采纳。
关键词：正态分布 阶梯价格 弹性系数 供求关系
一 问题重述（略）
二 条件假设
1 假设自来水价格调整方案是在水资源费和污水处理费调整方案确定的前提下进行的。
2 假设在供水和用水过程中的水损失相同，各占总水损失量的一半。
3 假设2006年国家对自来水所征税费不变。
4 假设居民用水至少满足基本生活用水需求。
5 假定居民的用水有不变部分和可变部分组成。
三 符号说明
符号 含义 单位
调整前的水资源费
调整后的水资源费
用户的用水总量 吨
用户花销总和 元
市居民户数
户
水资源费的弹性系数
水费支出占家庭总支出的比例
不满意用户所占比例
税率
自来水集团水资源的利用率
自来水集团年取水总量 吨
自来水集团年自来水销售总量 吨
调整前的用水量 吨
调整后的用水量 吨
四 问题分析
4.1 问题背景的理解
由于自来水供水成本增加，同时为了给南水北调工程筹资和限制高耗水行业，自来水调价势在必行。
首先，近年来由于 市供水成本增加，自来水集团面临亏损。同时， 市水资源匮乏，水质恶化，为了改善这个局面，国务院已决定修建南水北调工程，从湖北省丹江口引水，调长江水北上，解决 市及各沿线省、市的缺水问题，而南水北调工程资金需要从自来水销售价格中筹集。另外，为了有效地利用 市的水资源，最大限度发挥水资源的效益，需要通过自来水销售价格的调整来实现限制高耗水行业的发展，保证居民生活用水的供应和城市经济发展对水的需求。基于这样三个原因， 市急需调整水价。
其次，为建立节水型水价体系，同时促进社会经济环境的协调发展和为节水型社会的建立奠定基础，实行阶梯型水价，提高居民的节水意识，对居民过度使用的自来水部分收取一种“惩罚性”水价是十分有必要的。
此外，未来几年是污水处理设施建设的高峰期，但是，污水处理设施建设资金需求量较大，污水处理出水水质标准提高，污水处理量增加，使得污水处理厂所需的资金投入量增大，利润降低，甚至亏损。在国家大力扶持污水处理厂发展指导方针下，提高污水处理费也是十分必要的。
居民所缴纳的水费由自来水费和污水处理费两部分组成，由于自来水费和污水处理费都有所增加，提高居民水价就显得十分必要；同时，非居民用水也应分行业提价，达到调整 市产业结构的目的，此外，为建立节水型水价体系也有必要实行阶梯型水价。
4.2 对问题一的分析
水价政策的改革目标是：其一，充分发挥政府调控水资源的经济杠杆功能，引导产业结构的调整，同时不影响人民的正常生活；其二，维护国家的权益不受损失，确保水资源费上缴国库；其三，建立节水型水价体系，为节水型社会建立奠定基础，促进社会经济环境的协调发展。目前大部分自来水集团都在亏损运转，提高水价势必会影响到人民的生活，甚至会影响到社会的安定和经济的发展。
根据水价政策的三个改革目标，我们考虑可用以下3个指标来分析评价 市价格部门提出的调整方案：
指标1：尽可能多的增加节约用水量，从而达到节约水资源的目的。
指标2：价格调整在居民能够接受的范围内，从而做到不影响居民正常生活，保证社会的安定和经济的发展。
指标3：价格调整可保证自来水集团盈利，从而达到改变自来水集团亏损运转局面的目的。
在以上3个指标中，指标2和指标3是硬性指标，合理的价格调整方案必须满足；而指标1具有一定的弹性，但是，一个合理的价格调整方案决不能与节水相违背，浪费水的现象是不允许出现的。
4.3 对问题二的分析
水价的调整方案是由 市价格部门权衡各方面因素的影响而最终给出的，而价格部门属于政府部门。作为政府，调整水资源费和污水处理费应该是调整水价的第一步，自来水价的最终调整方案应在水资源费和污水处理费涨幅确定的前提下给出。调整水价时，应该考虑在保证自来水集团盈利和居民可接受的前提下尽可能多的节约用水。
基于上述原因，我们考虑在提出调整方案时同时考虑节约用水、自来水集团盈利和居民可接受这三个因素，其中，自来水集团盈利和居民可接受是前提，在这个前提下尽可能多的节约用水是目的。而要实现节水，具有可行性且容易操作的办法就是实行阶梯水价。所以，对于此问题我们的方案仍然是基于阶梯水价，在阶梯水价的前提下我们尝试给出更合理的水价方案。
4.4 对问题三的分析
由于水资源是准商品，其价格的变化会引起需求量的变化，在经济学上能够很好反映这方面变化的模型就是“供求定价模型”。所以，对问题三，我们考虑建立“供求定价模型”对新的水价方案实施后的节水量进行预测。
五 模型建立
5.1 问题的模型
水是关系国计民生的重要资源，提高水价会影响到人民的生活，但是目前大部分自来水公司都在亏损运转，因此供水部门也应在适当的价格变化范围内盈利经营；同时，水资源是一种稀缺资源，调节水价可在一定程度上对社会上的用水行为进行调节，从而达到节约用水的目的。所以说，在制订调价方案时，应同时考虑利润问题和用水问题。
我们将供水作为商品，则它满足供求定价模型，当水的价格由 变化为 时，用户的用水量 为：
其中 为水的价格弹性系数。
对整个问题的分析，我们分别从是否考虑居民收入影响两个不同方面出发建立了两个不同的模型。
5.1.1不考虑收入影响的模型一
假定用水量为 的用户在占总人口比例为 ，它满足正态分布，即有： ，用户的用水量为 ，设居民户数为 。
方案一：当所用方案为单一水价时：
① 若居民的原用水量 ，水价由 变为 ，此时用水量为 ，
此部分用户的用水量为:
此部分用户的总花销为：
② 若居民的原用水量 ，水价由 变为 ，可视 为居民用水的固定部分，此时用水量为 ，此部分用户的用水量为：
此部分用户的总花销为：
③ 若居民的原用水量 ，水价由 变为 ，可视 为居民用水的固定部分，此时用水量为 ，此部分用户的用水量为：
此部分用户的总花销为：
全体用户的用水量总和以及用户花销总和分别为：
方案二：当所用方案为阶梯水价 时：
① 若用户的原用水量 ，水价由 变为 ，则有：
此部分用户的用水总量为：
此部分用户的总花销为：
② 若用户的原用水量 ，水价由 变为 ，此时用户用水需求量大于 ，只有 部分受到限制，则有：
此部分用户的用水总量为：
此部分用户的总花销为：
③ 若用户的原用水量 时，水价由 变为 ，此时用户用水需求量大于 ，只有 部分受到限制，则有：
此部分用户的用水总量为：
此部分用户的总花销为：
全体用户的用水量总和以及用户花销总和分别为：
5.1.2 考虑收入影响的模型二：
假定用水量为 收入为 的用户在总人口中所占比例 满足二维正态分布，则有：
且满足：
，
假设水费支出占家庭总支出的比例为 ， ，满足：
方案一：当所用方案为单一水价时：
① 若用户的原用水量 ，水价由 变为 ，此时分两种情况考虑：
当 时，用户不考虑水价的影响，用水量仍为 ；
当 时，用户考虑水价的影响，用水量为 ，且当 时用户有不满情绪。
则此部分用户的用水总量为：
节约用水的用户总数为：
有不满情绪的用户总数为：
此部分用户的总花销为：
② 若原来用户的用水量 ，居民的用水量大于 ，只有 部分受限制，水价由 变为 ，此时分两种情况考虑：
当 时，用户不考虑水价的问题，用水量仍为 ；
当 时，用户考虑水价，用水量为 ，且当 用户会有不满情绪。
此部分用户的用水总量为：
节约用水的用户总数为：
有不满情绪的用户总数为：
此部分用户的总花销为：
③ 若用户的原用水量 ，用户的用水量大于 ，只用 部分受到限制，水价由 变为 ，此时分两种情况考虑：
当 时，用户不考虑水价的影响，用水量仍为 ；
当 时，用户考虑水价的影响，用水量为 ，且当 用户会有不满情绪。
此部分用户的用水总量为：
节约用水的用户总数为：
有不满情绪的用户总数为：
此部分用户的总花销为：
全体用户的用水量总和、用户花销总和以及用户的不满意比例分别为：
方案二：当所用方案为阶梯水价 时：
① 若用户的原用水量 ，水价由 变为 ，此时分两种情况考虑：
当 时，用户不考虑水价的影响，用水量仍为 ；
若满足 时，用户考虑水价的影响，用水量为 ，且当 时用户有不满情绪。
则此部分用户的用水总量为：
可算出节约用水的用户总数为：
有不满情绪的用户总数为：
此部分用户的总花销为：
② 若原来用户的用水量 ，居民的用水量大于 ，只有 部分受限制水价由 变为 ，此时分两种情况考虑：
若 时，用户不考虑水价的问题，用水量仍为 ；
若 ，用户会考虑水价，用水量为 ，且当 ，用户会有不满情绪。
此部分用户的用水总量为：
节约用水的用户总数为：
有不满情绪的用户总数为：
此部分用户的总花销为：
③ 若用户的原用水量 ，用户的用水量大于 ，只用 部分受到限制，水价由 变为 ，此时分两种情况考虑：
当 时，用户不考虑水价的问题，用水量仍为 ；
当 时，用户考虑水价，用水量为 ，且当 会产生不满情绪。
此部分用户的用水总量为：
节约用水的用户总数为：
有不满情绪的用户总数为：
此部分用户的总花销为：
全体用户的用水量总和、用户花销总和以及用户的不满意比例分别为：
六 模型求解
6.1 问题一的求解
由5.1中所建立的模型一，我们根据题目中给出的具体数据对其进行求解。
考虑指标1:
市自来水集团建议，按四口人家庭确定阶梯水价中基数水量更符合 市实际情况，所以可以认为 市每户平均四人。阶梯水价体现的居民人均月用水量为3吨，这样每户月平均用水量为12吨，故取 。另外，假设每个居民月用水量在1.5到4.5吨之间，每户月用水量在6到18吨之间，根据3 原则，模型一中应取 。
对于 市价格部门给的阶梯水价 ，
模型一中 ， ， ， ， ， ，用户数 按附件三中数据求出为 ，弹性指数 取全国平均值 。
对于居民用水，按照以上数据对模型一采用梯形公式将求积区间10000等分并借用Matlab求解,得到结果如下:
① 当阶梯水价比例取1:2:5时，解得:
故每户月平均用水为：11.3447 ,居民用水平均价格为： ,每月节水量为 。
② 当阶梯水价比例取1:3:5时，解得:
故每户月均用水为每月11.2869吨，居民用水平均价格为 ，每月居民节水量为 。
比较两种结果可知，阶梯水价比例为 时居民承担的平均水价较低，而比例为1:3:5时节水量明显提高。
由于平均水价由居民水价和非居民水价两部分分构成，有:
平均水价=居民水价 44.53%+非居民水价 55.47%，
可求出非居民用水平均自来水价为3.58元；调整后非居民用水平均自来水价为4.59元，另外非居民用水污水处理费由1.2元变为1.5元，所以非居民用水的价格从4.78元变为6.09元,我国非居民用水的平均弹性指数一般为 。
则非居民月平均用水总量为:
(居民月用水量/44.53%) (1-44.53%)=5663万吨
由供求定价关系 求得调整后非居民月平均用水总量为5017万吨。非居民用水月平均节约水量为646万吨。所以，比例为1:2:5时月总节水为894万吨,年总节水量为10728万吨,节水比例为8.76%；比例为1:3:5时月总节水为916万吨,年总节水量为10992万吨，节水比例为8.97%。总的来说两种方案都达到了节水的目的,从而指标1得到满足。
考虑指标2:
根据附录3，居民年平均可支配收入为17653元，由上面计算结果，当比例为1:2:5时,居民年用水平均开支为152元；当比例为1:3:5时，居民年用水平均开支为155元，分别占人均可支配收入的0.861%和0.878%。由于该市居民的恩格尔系数为31.8%，居民富裕程度较高,因而上面两种水价方案应均可被接受，从而指标2得到满足。
考虑指标3:
自来水供水价格应包含自来水水费和污水处理费用两部分，即：
由于污水处理费用被污水处理集团收取，自来水集团盈利仅来源于自来水水费，因此计算自来水集团盈利时只需考虑自来水水费部分。
按照有关法规规定：
当前税率 可定义为：
水资源费是按自来水取水量征收，由自来水集团缴纳的。由于自来水行业在供、销过程中存在着不可避免的水量损失，造成自来水取水量与售水量之间的产销差率，这部分的差额只能由自来水企业承担，减少了企业利润，定义自来水集团水资源利用率 可定义为：
假设取水和供水过程所造成的水损失各占水损失总量的一半，则有：
自来水厂按售水量的单位利润可以表示为：
(**)利用题目中所给数据可求得税率为：
与税法规定税率应在13%左右基本稳合.
根据上一年自来水公司盈亏平衡即单位利润为0的条件，以及平均价格为3.01元，自来水成本1.37元，平均水资源费0.81元，利用公式(**)可求得利用率为：
即损失率为 ,与我国自来水公司当前平均损耗20%符合。
根据以上公式可求出当比例为1:2:5时自来水平均价格为:
平均水资源费为：1.37元。
所以由公式(**)可求得:单位利润为0.735元，年利润约为8.2亿。
同样可以求得当比例为 时，自来水平均价格为4.116 ,
所以由公式(**)可求得:单位利润为0.735元，年利润约为8.3亿。
对阶梯水价的详细评价:
在不考虑阶梯水价时,居民用水平均价格由2.9元变为3.7元，居民用水弹性系数 ,调整前居民用水总量为3 12 常住人口=54552万吨，由供求价格关系.可求出调价后居民年用水总量为52688万吨，年节约用水1864万吨。
而考虑阶梯水价时居民用水年节约用水在1：2：5和1：3：5两种方案下分别为2976万吨和3240万吨。由数据可见阶梯水价明显提高了居民节水量。
不考虑阶梯水价时可求得自来水平均价格为：
由公式(**)可求得:单位利润为0.436元，年利润约为4.9亿。
由此可见阶梯水价提高增加了自来水公司的利润。阶梯水价下居民用水平均价格升高，作为居民满意度应该有所降低。
6.2 问题二和问题三的求解
按模型一进行求解，仍取 ， ， ， ， 。
对不同的 ， ，采用计算机模拟求解得到以下30组数据：
比例
1:2:5 4.0665 4.5581 2.7201 15.0460 18.5719 16.9684 11.3447 50.6063
1:2:6 4.0665 4.5581 2.7201 15.0460 18.5719 15.5260 11.3447 49.1639
1:2:7 4.0665 4.5581 2.7201 15.0460 18.5719 15.9375 11.3447 49.5754
1:2:8 4.0665 4.5581 2.7201 15.0460 18.5719 16.3300 11.3447 49.9679
1:2:9 4.0665 4.5581 2.7201 15.0460 18.5719 16.7066 11.3447 50.3445
1:2:10 4.0665 4.5581 2.7201 15.0460 18.5719 17.0696 11.3447 50.7075
1:3:5 4.0665 4.5003 2.7096 15.0460 19.6394 17.4398 11.2764 52.1252
1:3:6 4.0665 4.5003 2.7096 15.0460 19.6394 17.8748 11.2764 52.5602
1:3:7 4.0665 4.5003 2.7096 15.0460 19.6394 18.2863 11.2764 52.9717
1:3:8 4.0665 4.5003 2.7096 15.0460 19.6394 18.6788 11.2764 53.3642
1:3:9 4.0665 4.5003 2.7096 15.0460 19.6394 19.0553 11.2764 53.7407
1:3:10 4.0665 4.5003 2.7096 15.0460 19.6394 19.4183 11.2764 54.1037
1:4:5 4.0665 4.4638 2.7011 15.0460 20.5896 19.7886 11.2314 55.4242
1:4:6 4.0665 4.4638 2.7011 15.0460 20.5896 20.2235 11.2314 55.8591
1:4:7 4.0665 4.4638 2.7011 15.0460 20.5896 20.6350 11.2314 56.2706
1:4:8 4.0665 4.4638 2.7011 15.0460 20.5896 21.0275 11.2314 56.6631
1:4:9 4.0665 4.4638 2.7011 15.0460 20.5896 21.4041 11.2314 57.0397
1:4:10 4.0665 4.4638 2.7011 15.0460 20.5896 21.7671 11.2314 57.7627
1:5:6 4.0665 4.4377 2.6941 15.0460 21.4655 22.5723 11.1983 59.0838
1:5:7 4.0665 4.4377 2.6941 15.0460 21.4655 22.9838 11.1983 59.4953
1:5:8 4.0665 4.4377 2.6941 15.0460 21.4655 23.3763 11.1983 59.8878
1:5:9 4.0665 4.4377 2.6941 15.0460 21.4655 23.7529 11.1983 60.2644
1:5:10 4.0665 4.4377 2.6941 15.0460 21.4655 24.1158 11.1983 60.6273
1:6:7 4.0665 4.4178 2.6882 15.0460 22.2850 25.3325 11.1725 62.6635
1:6:8 4.0665 4.4178 2.6882 15.0460 22.2850 25.7250 11.1725 63.0560
1:6:9 4.0665 4.4178 2.6882 15.0460 22.2850 26.1016 11.1725 63.4326
1:6:10 4.0665 4.4178 2.6882 15.0460 22.2850 26.4646 11.1725 63.7956
1:7:8 4.0665 4.4019 2.6831 15.0460 23.0604 28.0738 11.1515 66.1802
1:7:9 4.0665 4.4019 2.6831 15.0460 23.0604 28.4504 11.1515 66.5568
1:7:10 4.0665 4.4019 2.6831 15.0460 23.0604 28.8134 11.1515 66.9198
由以上数据可以看出用户平均每月用水量随 的变化而变化，当 取定 增大时，用户月平均用水价格增大，要实现节水最终还是需要调整 ，而 过大时居民用水价格便会过高，自来水公司将会获得暴利。由问题一求解中对阶梯水价的评价，采用阶梯水价只会提高自来水公司的利润，而未采用阶梯水价时自来水公司已经有了相当的利润，因而选择比例时应以尽可能多的节约用水为目的，并且尽量的压低自来水公司利润的增长幅度，同时保证居民可以接受。
所以综合各种因素我们选取比例1：4：5作为我们的方案提供给政府部门。
当选取比例1：4：5时：
居民用水年节水量为：292 12=3504万吨;
年总节水量为：646 12+3504=11256万吨;
节水率为：9.19%;
居民平均水价为：4.93
自来水厂利润为：8.6亿
居民用于购水的费用占居民可支配收入的比例为：0.94%
按模型二进行求解时，由于题目所给数据不足，此模型中用到的正态分布的几个参数很难确定，因而很难给出供政府部门参考的方案，不过我们通过计算机模拟的办法说明了模型确实具有合理性，具体原程序和程序见附录1。
七 模型优缺点分析（略）
八 参考文献（略）
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摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、等的具体座位。假设说，有一个学校要召集开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建模的方法来解决。
关键词： Q值法 公平席位
问题的重述：三个系部学生共200名，（甲系100.乙系60，丙系40）代表会议共20席，按比例分配三个系分别为10、6、4席。老情况变为下列情况怎样分配才是最公平的，现因学生转系三系人数为103.63.34.
（1） 问20席该如何分配。
（2） 若增加21席又如何分配。
问题的分析：
一、通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：
某单位席位分配数 = 某单位总人数比例´总席位
如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这样最初学生人数及学生代表席位为
系名 甲 乙 丙 总数
学生数 100 60 40 200
学生人数比例 100/200 60/200 40/200
席位分配 10 6 4 20
学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为
系名 甲 乙 丙 总数
学生数 103 63 34 200
学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20
按惯例席位分配 10 6 4 20
（1）20席应该甲系10席、乙系6席,丙系4席这样分配
二、学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有
系名 甲 乙 丙 总数
学生数 103 63 34 200
学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21
按惯例席位分配 11 7 3 21
这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。要怎样才能公平呢，这时就要用数学建模要解决。
模型的建立：
假设由两个单位公平分配席位的情况，设
单位 人数 席位数 每席代表人数
单位A p1 n1
单位B p2 n2
要公平，应该有 = ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有
若 > ，则说明单位A 吃亏(即对单位A不公平 )
若 < ，则说明单位B 吃亏 (即对单位B不公平 )
因此可以考虑用算式 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如：
某两个单位的人数和席位为 n1 =n2 =10 ， p1 =120， p2=100， 算得 p=2
另两个单位的人数和席位为 n1 =n2 =10 ， p1 =1020，p2=1000, 算得 p=2
虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种公平。
下面采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公式：
若 则称 为对A的相对不公平值， 记为
若 则称 为对B的相对不公平值 ，记为
由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。
确定分配方案：
使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设 > ，即对单位A不公平，再分配一个席位时，关于 , 的关系可能有
1. > ,说明此一席给A后,对A还不公平;
2. < ,说明此一席给A后,对B还不公平,不公平值为
3. > ,说明此一席给B后,对A不公平,不公平值为
4. < ,不可能
上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有
则增加的一席应给A ，反之应给B。对不等式 rB(n1+1,n2)<rA (n1,n2+1)进行简单处理，可以得出对应不等式
引入公式
于是知道增加的席位分配可以由Qk的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。用Qk的最大值决定席位分配的方法称为Q值法。
对多个组（m个组）的席位分配Q值法可以描述为：
1．先计算每个组的Q值：
Qk , k=1,2,…,m
2．求出其中最大的Q值Qi（若有多个最大值任选其中一个即可）
3．将席位分配给最大Q值Qi对应的第i组。
模型的求解：
先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。 本问题的整数名额共分配了19席，具体为：
甲 10.815 n1 =10
乙 6.615 n2 =6
丙 3.570 n3 =3
对第20席的分配，计算Q值
Q1=1032/(10´11) = 96.45 ; Q2=632/(6´7)= 94.5; Q3 =342/(3´4)=96.33
因为Q1最大，因此第20席应该给甲系; 对第21席的分配，计算Q值
Q1=1032/(11´12)=80.37 ; Q2 =632/(6´7)=94.5; Q3 =342/(3´4)=96.33
因为Q3最大，因此第21席应该给丙系
（2）最后的席位分配为：甲 11席 乙 6席 丙 4席
结论：20席应该甲系10席、乙系6席,丙系4席这样分配
若21席应该甲系11席、乙系6席，丙系4席
关键词： Q值法 公平席位
问题的重述：三个系部学生共200名，（甲系100.乙系60，丙系40）代表会议共20席，按比例分配三个系分别为10、6、4席。老情况变为下列情况怎样分配才是最公平的，现因学生转系三系人数为103.63.34.
（1） 问20席该如何分配。
（2） 若增加21席又如何分配。
问题的分析：
一、通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：
某单位席位分配数 = 某单位总人数比例´总席位
如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这样最初学生人数及学生代表席位为
系名 甲 乙 丙 总数
学生数 100 60 40 200
学生人数比例 100/200 60/200 40/200
席位分配 10 6 4 20
学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为
系名 甲 乙 丙 总数
学生数 103 63 34 200
学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20
按惯例席位分配 10 6 4 20
（1）20席应该甲系10席、乙系6席,丙系4席这样分配
二、学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有
系名 甲 乙 丙 总数
学生数 103 63 34 200
学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21
按惯例席位分配 11 7 3 21
这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。要怎样才能公平呢，这时就要用数学建模要解决。
模型的建立：
假设由两个单位公平分配席位的情况，设
单位 人数 席位数 每席代表人数
单位A p1 n1
单位B p2 n2
要公平，应该有 = ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有
若 > ，则说明单位A 吃亏(即对单位A不公平 )
若 < ，则说明单位B 吃亏 (即对单位B不公平 )
因此可以考虑用算式 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如：
某两个单位的人数和席位为 n1 =n2 =10 ， p1 =120， p2=100， 算得 p=2
另两个单位的人数和席位为 n1 =n2 =10 ， p1 =1020，p2=1000, 算得 p=2
虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种公平。
下面采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公式：
若 则称 为对A的相对不公平值， 记为
若 则称 为对B的相对不公平值 ，记为
由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。
确定分配方案：
使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设 > ，即对单位A不公平，再分配一个席位时，关于 , 的关系可能有
1. > ,说明此一席给A后,对A还不公平;
2. < ,说明此一席给A后,对B还不公平,不公平值为
3. > ,说明此一席给B后,对A不公平,不公平值为
4. < ,不可能
上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有
则增加的一席应给A ，反之应给B。对不等式 rB(n1+1,n2)<rA (n1,n2+1)进行简单处理，可以得出对应不等式
引入公式
于是知道增加的席位分配可以由Qk的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。用Qk的最大值决定席位分配的方法称为Q值法。
对多个组（m个组）的席位分配Q值法可以描述为：
1．先计算每个组的Q值：
Qk , k=1,2,…,m
2．求出其中最大的Q值Qi（若有多个最大值任选其中一个即可）
3．将席位分配给最大Q值Qi对应的第i组。
模型的求解：
先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。 本问题的整数名额共分配了19席，具体为：
甲 10.815 n1 =10
乙 6.615 n2 =6
丙 3.570 n3 =3
对第20席的分配，计算Q值
Q1=1032/(10´11) = 96.45 ; Q2=632/(6´7)= 94.5; Q3 =342/(3´4)=96.33
因为Q1最大，因此第20席应该给甲系; 对第21席的分配，计算Q值
Q1=1032/(11´12)=80.37 ; Q2 =632/(6´7)=94.5; Q3 =342/(3´4)=96.33
因为Q3最大，因此第21席应该给丙系
（2）最后的席位分配为：甲 11席 乙 6席 丙 4席
结论：20席应该甲系10席、乙系6席,丙系4席这样分配
若21席应该甲系11席、乙系6席，丙系4席
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席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、等的具体座位。假设说，有一个学校要召集开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建模的方法来解决。
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