Question

高三数学数列题解答

数列{an}中,a1=1，且前n项和Sn满足lgSn=2Lgn+Lg(an)

1 求an和Sn
2令bn=Sn/（n!）,数列{bn}的前n项和为Tn,当n大于等于2时，求证：2n/(n+1)<Tn<2

Answer 1

1、从lgSn=2Lgn+Lg(an)可以得到Sn=n*n*an
则有an=Sn-S(n-1)=n^2*an-(n-1)^2*a(n-1) （1）
从（1）得，an/a(n-1)=(n-1)/(n+1) (2)
对（2），进行累乘的话，即a2/a1*a3/a2*...*an/a(n-1)=2/[n(n+1)]
则an=2/[n(n+1)]=2/n-2/(n+1)
Sn=2*[1-1/（n+1）]=2n/(n+1)
2、bn=2/[（n-1）!*(n+1)]
要求不等式，则要进行缩放的方法，bn<2/[n(n-1)]
则对2/[n(n-1)]求和为2（1-1/n）<2