Question

设A为奇数阶正交矩阵，det(A)=1,证明1是A的一个特征值

用反证法证明

Answer 1

首先正交矩阵的特征值只能是1或-1,再由det(A)=1,det(A)是A的所有特征值的乘积,所以不可能特征值都是-1,否则由A为奇数阶得det(A)=-1,矛盾.故1是A的一个特征值.

Answer 2

反证法：
因为正交阵特征值的模均为1，且复特征值成对出现，所以若1不是A的特征值，那么A的特征值只有-1，以及成对出现的复特征值。注意到A是奇数阶的，所以除去成对出现的复特征值后必有奇数个特征值 -1. 这样，利用矩阵A的所有特征值之积就等于矩阵A的行列式 detA 可知：这奇数个-1与成对出现的复特征值之积为 detA=1. 但是，奇数个-1的乘积为 -1，成对出现的复特征值之积为1，它们的乘积也是-1，与 detA=1 矛盾。因此假设不成立，1必为A的一个特征值。