Question

已知函数f(x)=(x²+ax+1)e^x,g(x)=2x³-3x²+a+2,其中a＜0.（1）若

a=-1,求f(x)的极大值：（2）当x∈[-1,1]时，f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，求实数a的取值范围。

Answer 1

(1)f'(x) = (x²+ax+1)e^x + (2x+a)e^x = [x²+(a+2)x+a+1]e^x
当a=-1时：f'(x) = x(x+1)e^x
所以x<-1时：f'(x)>0 ；-1<x<0时：f'(x)<0 ；x>0时：f'(x)>0 ；
所以f(x)的极大值为：f(-1) = 3/e
(2)因为：g'(x) = 6x² -6x =6x(x-1) 所以g(x)在[-1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减；
所以g(x)在[-1,1]上的最大值为g(0)=a+2

由(1)中f'(x) = (x+a+1)(x+1)e^x

所以:-2<a<0时：f(x)在[-1,-a-1]上单调递减，在[-a-1,1]上单调递增；最小值为：f(-a-1) = (a+2)/e^(a+1)>=a+2 导出：a<=-1 所以此时有：-2<a<=-1
a<=-2事，f(x)在[-1,1]上单调递减，最小值为f(1) = (a+2)e>=a+2 导出：a>=-2 所以此时有：a=-2

综上所述：-2<=a<=-1