Question

一道数学题22

求详解，要步骤。谢谢。

Answer 1

解答：
（1）
2f(x)+f(-x)=3*2^sinx ①
将x换成-x
2f(-x)+f(x)=3*2^(-sinx) ②
①×2-②
3f(x)=6*2^sinx-3*2^(-sinx)
∴ f(x)=2*2^sinx-2^(-sinx)
（2）
证明略，是一个增函数
利用复合函数的单调性很容易证明。
如实在需要，请追问。
（3）
设2^sinx=t
则2*t-1/t=3√2/2
∴2t²-(3√2/2)t-1=0
∴ t=√2或t=-√2/4(舍)
∴ sinx=1/2
∴ x的集合是{x|x=2kπ+π/6或x=2kπ+5π/6,k∈Z}

追问

题目中要我用定义来证明单调性，我不太会……

追答

设-π/2≤x12^(-sinx2), 即-2^(-sinx1)<-2^(-sinx2)
∴ 2*2^sinx1-2^(-sinx1)<2*2^sinx2-2^(-sinx2)

∴ f(x)在【-π/2，π/2】上是增函数

ps: 麻烦将我回答你的，被系统推荐的题也采纳一下吧。

Answer 2

（1）2f(x)+f(-x)-3*2^(sinx)=0；以 -x 代入左式有 2f(-x)+f(x)-3*2^[sin(-x)]=0；
以上两式相减得 f(x)-f(-x)-3*2^(sinx)+3*2^[sin(-x)]=0；再与第一式相加可得：
3f(x)-2*3*2^(sinx)+3/2^(sinx)=0，所以 f(x)=[2*2^(sinx)]-[1/2^(sinx)]；
（2）因为 sinx 在[-π/2,π/2]上单调增加，所以 f(x) 在指定区间单调增加；证明如下：
设 -π/2≤x1<x2≤π/2，则 f(x2)-f(x1)=2[2^(sinx2)-2^(sinx1)]+[1/2^sin(x1)]-[1/2^sin(x2)]
=[2^(sinx2)-2^(sinx1)][2 +1/2^sin(x1+x2)]；
因为 2^(sinx)>0 随 sinx 单调增加，所以 f(x2)-f(x1)>0，即 f(x) 在[-π/2,π/2] 单调增加；
（3）f(x)=3√2/2，即 2*2^(sinx)-[1/2^(sinx)]=3√2/2；令 2^(sinx)=t；则有：2t-(1/t)=3√2/2；
化为一元二次方程标准形式：4t²-3√2-2=0；解得 t=√2（负根不符合指数函数值域，舍去）；
即 2^(sinx)=√2，sinx=1/2；所以 x=2kπ+(π/6)、x=2kπ+(5π/6)；k 为整数；