Question

已知单调函数f(x)在定义域R内对任意f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且f(3)＞0

（1）求f(0)的值（2）判断f(x)的单调性（3）若关于x的不等式f(k*3的x次方)+f(3的x次方-9的x次方-2)＜0恒成立，求实数k的取值范围 过程详细点！！！

Answer 1

答：
单调函数f(x)在定义域R内恒有：f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
1）
设x1=x2=0有：f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0)=0
2）
f(3)>0=f(0)

所以：f(x)是R上的单调递增函数
3）
f(k*3^x)+f(3^x-9^x-2)<0
f(k*3^x)<-f(3^x-9^x-2)=f(9^x-3^x+2)恒成立
k*3^x<9^x-3x^+2
k<3^x-1+2/3^x恒成立
因为：3^x+2/3^x-1>=2√[(3^x)*2/3^x]-1=2√2-1
所以：k<2√2-1

追问

f(k*3^x)<-f(3^x-9^x-2)=f(9^x-3^x+2)恒成立 为什么，没说是奇函数啊

追答

哦，忘记证明这一点了：
令x1+x2=0，x2=-x1
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
f(0)=f(x1)+f(-x1)=0
f(-x1)=-f(x1)
f(x)是奇函数

Answer 2

（1）令x1=x2=0，得f(0)=0

（2）f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3) 得f(x)递增

（3）记t=3^x（t＞0） 则f（k*3^x）+f（3^x-9^x-2）=f（-t²+（k+1）t-2）

由（2）知f（x）递增，所以-t²+（k+1）t-2在（0，+∞）恒小于0
①对称轴（k+1）/2≤0，k≤-1，此时恒成立
②k＞-1，需（8-（k+1）^2）/(-4)＜0 -1＜k＜-1+2√2
综上k＜-1+2√2