Question

设函数fx=2x+1的绝对值+2x-5的绝对值，x∈R. （1） 求不等式fx≤x+

设函数fx=2x+1的绝对值+2x-5的绝对值，x∈R. （1） 求不等式fx≤x+6（2）若gx=fx+m分之1的定义域为R,求m的取值范围。急急急！！！

Answer 1

f(x)=|2x+1+|2x-5|
f(x)<=x+6
1）分段讨论：
当x>=5/2时，不等式化为：2x+1+2x-5<=x+6,即3x<=10,得x<=10/3, 即有5/2=<x<=10/3;
当-1/2<x<5/2时，不等式化为：2x+1+5-2x<=x+6,即x>=0, 即有0=<x<5/2
当x<=-1/2时，不等式化为: -2x-1+5-2x<=x+6,即5x>=-2,即x>=-2/5,无解。
综合得0=<x<=10/3
2)g(x)=1/[f(x)+m]的定义域为R，则f(x)+m≠0恒成立。
现求f(x)的值域。
f(x)可看成x轴上点2x到点A=-1与B=5的距离和，由两点间线段最短的原理，这个和最小为AB的距离，即f(x)>=6. 要使m≠-f(x),只需m>-6即可。