Question

已知函数f(x)=e^ax*(a\x+a+1),其中a大于等于-1,求f(x)的单调区间

求详细步骤，分类讨论

Answer 1

f定义域是x不等于0,当a=0时，f=1，无单调区间，a=-1时，f=-1/xe^x，令导数大于0，x大于-1，令导数小于0，x小于-1，当a大于0时，求导数f导数=ae^ax(a^2/x+a^2+a-a/x^2)，令这个方程=0，解得x1=-1，x2=1/(a+1)，令导函数大于0，解得x大于1/（a+1）或者小于-1，令x小于0，解得x属于（-1,1/（a+1）），同理当a大于-1小于0时令导数大于零解得x属于
（-1,1/（a+1）），导数小于0解得x大于1/(a+1）或x小于-1
综上所述a大于0时单调增加区间是（1/(a+1），正无穷）并（负无穷，-1），单调递减区间是（-1,0）并（0,1/（a+1））；a小于0大于-1单调递增区间（-1,0)并（0,1/(a+1）），单调递减区间（1/（a+1），正无穷）并（负无穷，-1）；a=0无单调区间，a=-1单调递增区间是（-1,0）并（0，正无穷）单调递减区间是（负无穷，-1）