Question

（2012•铜仁地区）如图已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过

（2012•铜仁地区）如图已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）
∵抛物线经过A、B、C三点，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax²+bx+c，
得方程组

9a+3b+c＝0c＝3a+b+c＝0

解得：

a＝1b＝−4

c=3

∴y=x^2-4x+3

(2)

由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，
若△ABO∽△AP₁D，则AOAD＝OBDP1
∴DP₁=AD=4，
∴P₁（-1，4）
若△ABO∽△ADP₂ ，过点P₂作P₂ M⊥x轴于M，AD=4，
∵△ABO为等腰三角形，
∴△ADP₂是等腰三角形，
由三线合一可得：DM=AM=2=P₂M，即点M与点C重合，
∴P₂（1，2）
综上所述，点P的坐标为P₁（-1，4），P₂（1，2）；

(3)不存在

设点E（x，y），则 S_△ADE=1/2•AD•|y|＝2|y|
①当P₁（-1，4）时，
S_{四边形AP1CE}=S_△ACP1+S_△ACE=1/2×2×4+1/2×2•|y|=4+|y|
∴2|y|=4+|y|，
∴|y|=4
∵点E在x轴下方，
∴y=-4，代入得：x²-4x+3=-4，即x²-4x+7=0，
∵△=（-4）²-4×7=-12＜0
∴此方程无解
②当P₂（1，2）时，
S_{四边形AP2CE}=S_△ACP2+S_△ACE=2*1/2×2•|y|=2+|y|，
∴2|y|=2+|y|，
∴|y|=2
∵点E在x轴下方，
∴y=-2，代入得：x²-4x+3=-2，即x²-4x+5=0，
∵△=（-4）²-4×5=-4＜0
∴此方程无解

∴E不存在

Answer 2

我会第一问，第二和第三忘了，半年前学的。
第一问，
令x=0，y=0
求出来A、B
之后把A、B、C带入抛物线y=ax2+bx+c
求出来就可以了，很简单，你应该会第一问。

Answer 3

给你一个网址
http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/f813dc30-d0f7-4c5c-b55c-4a3a37b90e00?a=1