Question

直线y=kx-2交椭圆x^2/4+y^2/3=1于A,B两点,AB的中垂线交y轴与点Q(0,t),求t的取值范围，请不用导数求谢谢

Answer 1

将直线方程代入椭圆求交点坐标：(x²/4)+[(kx-2)²]/3=1 → (3+4k²)x²-16kx+4=0；
若 A、B 的横坐标分别为 x1、x2，则其中点横坐标为 (x1+x2)/2=8k/(3+4k²)；
再由直线方程的 AB 中点的纵坐标 6/(3+4k²)；
AB 的中垂直斜率为 -1/k，故其方程可表示为 y-[6/(3+4k²)]=(-1/k){x-[8k/(3+4k²)]}；
中垂线在 y 轴上的截距 t=[6/(3+4k²)]+(-1/k){0-[8k/(3+4k²)]}=14/(3+4k²)；
因为 Q 点在椭圆上方，直线与椭圆存在交点时根（交点坐标）判别式 (16k)²-4*(3+4k²)*4≥0；
所以 k²≥1/4；即 k²∈[0,1/4]；∴ t∈[0,8]；

追问

谢谢，结果与导数求得的不一样，导数的求得者 t 取值范围（0，1/2）
再中点横坐标8k/(3+4k²）纵坐标 6/(3+4k²)如何求得；

追答

仔细检查了下，发现早前回答有两处错误：①由 A、B 中点横坐标 8k/(3+4k²) 和直线方程求得的中点纵坐标应是 y=-6/(3+4k²)，漏掉了负号，所以 t=2/(3+4k²)；②由 k²≥1/4 推得 k²∈[1/4,+∞)，所以 t∈(0,1/2) 是正确答案；
另外中点横坐标就是方程两根和之半，回答中已明确写出；