Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时f（x）＞0.

判断f（x）在（-∞，0）上的单调性

Answer 1

解判定f（x）是减函数
由f（xy）=f（x）+f（y）
令x=y=1
就f（1*1）=f（1）+f（1）
即f（1）=2f（1）
即2f（1）-f（1）=0
即f（1）=0
再在f（xy）=f（x）+f（y）
令y=1/x
则f（x*1/x）=f（x）+f（1/x）
即f（x）+f（1/x）=f（1）=0
即f（1/x）=-f（x）...........................(*)
设x1，x2属于（负·无穷大，0）且x1＞x2
即f（x2）-f（x1）
=f（x2）+f(1/x1）（此步利用*式）
=f（x2/x1）（此步利用f（xy）=f（x）+f（y））
又有x＞1，时，f（x）＞0
由x2＜x1＜0，即x2/x1＞1
即f（x2/x1）＞0
即f（x2）-f（x1）=f（x1/x2）＞0
即f（x2）＞f（x1）
即f（x）在x属于（负无穷大，0）是减函数。

Answer 2

答：

f(x)定义在R上：f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=0：f(0)=f(0)+f(0)
解得：f(0)=0
设y<x<0，则y/x>1，f(y/x)>0
f(x)-f(y)
=f(x)-f(y*x/x)
=f(x)-f[(y/x)*x]
=f(x)-f(y/x)-f(x)
=-f(y/x)
<0
所以：f(x)<f(y)
所以：f(x)在（-∞，0）上是单调递减函数

Answer 3

问题是什么