Question

请赵老师给解惑一道数学题，真心感谢！

已知f[(1-x)/(1+x)]=[1-(x平方）]/[1+(x平方）],求f(x)的解析式？
疑惑；令t=(1-x)/(1+x),为什么教材解析不写t的值域？因该写{t|t不等1}，
最后解出f(x)=2x/[1+(x平方）]. x不等1，
那位老师给解释一下好吗？非常感谢！
教材解析直接写令t=(1-x)/(1+x),直接解出f(x)=2x/[1+(x平方）]

Answer 1

t=2/(1+x)-1，∴t≠-1
充分必要条件的问题
如果说已知f(x)解析式，其定义域为x≠1，那么可以得出f(t)
但是如果知道f(t)，不能因为t≠-1就说f(x)的定义域里不包含-1
实际上f(t)是复合函数，其中t=t(x)，则f(t)=f[t(x)]，其定义域是f(x)和t(x)的交集
比如说f(x)=x，t=1/x≠0
那么f(t)=t，不能因为t≠0就说f(x)的定义域里不包含0
如果没有特殊说明，或者题中没有其它条件，f(x)的定义域应该由其解析式来决定

追问

或者题中没有其它条件，这个怎样理解？

再比如，已知f[(二次根号下x)-1]=x,求f(x）？
解；令t=(二次根号下x)-1,因为x>=0,所以t>=-1,
f(x)=(x+1)平方，{x|x>=-1}
这两道题中的中间变量t的区别？麻烦赵老师给解惑。

追答

首先，我不是赵老师……
我认为是没有区别的，求出来的f(x)依旧不应该带有[-1,+∞)的定义域
对于复合函数f[g(x)]，只要g(x)的值域是f(x)的定义域的子集，函数就有意义

追问

首先非常感谢您的耐心解答，真的非常感谢！第二题解析的正确答案为 f(x)=(x+1)平方，x属于[-1,+∞)，
我不明白的是为啥第一题对t没要求，而第二题有对t 有要求，
根据复合函数的定义，函数f[g(x)],令t=g(x),f(t)中t的范围就是f(x)中x的范围。

追答

不不不，你还是没理解
假设复合函数f[g(x)]，其中f(x)的定义域为A、g(x)的定义域为B，那么f[g(x)]的定义域是
{x|x∈B且g(x)∈A}
所以g(x)的值域只是f(x)的定义域A的一个子集
就像我之前举的例子，f(x)=x(x∈R)，g(x)=1/x(x≠0)
那么f[g(x)]=1/x定义域是x≠0，但不能因为g(x)=1/x取不到0就说f(x)的定义域不包含0

追问

对你表示敬意！你说的我都能理解，f(x)的定义域为A与g(x)的定义域为B叠加，即为重合部分，前提是g（x)的值域是f(x)的定义域A的一个子集。

对第二道题；已知f[(二次根号下x)-1]=x,求f(x）？你的答案是f(x)=(x+1)平方，对x没有限制？

追答

对
第二题中，实际上对x的限制来源于g(x)=√x-1，而不是f(x)=(x+1)²

追问

第一题难道不对g(x)=(1-x)/(1+x)中的x限制吗？

所以必须限制，

追答

限制啊，所以对x的限制来源于g(x)而非f(x)，所以该限制不应该作用于f(x)的定义域

追问

t的范围就是f(x)里的x的范围，所以x不等于-1.

追答

对啊，所以x的限制是来源于t而非来源于f(x)
也就是说x≠-1是g(x)=t=(1-x)/(1+x)的定义域和值域，跟f(x)没关系

追问

t=(1-x)/(1+x),定义域x不等于-1，值域t不等于-1，所以f(x)的定义域为x不等于-1.难道有错吗？
咨询数学老师了，必须对t的范围讨论，从而x不等-1，
解析的结论一样，但对x不限制的话是错误的，
正解是f(x)=2x/[1+(x平方）]. {x|x不等于-1}。

感谢你的讨论，再次感谢你！