Question

一道大学线性代数题求详解

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=[-1,2,-1]T和α2=[0,-1,1]T是齐次线性方程组AX=0的两个解。
（1）求A的特征值和特征向量；
（2）求一个正交矩阵Q和对角矩阵D，使QTAQ=D

Answer 1

(1) 3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，故A有特征值3，对应的特征向量为a3=(1,1,1)T,
又向量α1=[-1,2,-1]T和α2=[0,-1,1]T是齐次线性方程组AX=0的两个解。

所以A有特征值0，对应的特征向量为,α1=[-1,2,-1]T和α2=[0,-1,1]T
(2)因为a1,a2,a3线性无关，故A可以对角化，将a1,a2,正交化，单位化，将a3单位化，
设得到的向量分别为b1,b2,b3，
令Q=(b1,b2,b3)，则Q就是要求的正交矩阵，且
QTAQ=D=diag(0,0,3)