Question

设P^-1AP=D,其中P=(-1,-4;1,1),D=(-1,0;0,2),求A、3A^3、A^101

线性代数

Answer 1

P=
[-1 -4]
[1 1]
则 P^(-1)=(1/3)*
[1 4]
[-1 -1]
D=
[-1 0]
[0 2]
由 P^(-1)AP=D, 得 A=PDP^(-1)=
[3 4]
[-1 -2]
3A^3 = 3PDP^(-1)PDP^(-1)PDP^(-1)=3PD^3P^(-1)=
[33 36]
[-9 -12]
A^101 = PDP^(-1)PDP^(-1)PDP^(-1)...PDP^(-1) = PD^101P^(-1)=(1/3)*
[-1+4*2^101 -4+4*2^101]
[-1-2^101 -4-2^101]