Question

已知a∈R，讨论函数f（x）=e的x次方（x²+ax+a+1）的极值点个数

大致上都明白了，但是有一句是‘当判别式＞0时，即a＜0或a＞4时，方程有两实根x1x2，所以f（x）的导数=ex次方（x-x1）（x-x2）‘这是什么意思？主要是最后一句不懂

Answer 1

f'(x)=e^x(x²+ax+a+1)+e^x(2x+a)=e^x[x²+(a+2)x+2a+1]
令g(x)=x²+(a+2)x+2a+1, 则f'(x)=e^x g(x)
g(x)为二次函数，如果g(x)有2个零点x1,x2,则g(x)=(x-x1)(x-x2), f'(x)=e^x(x-x1)(x-x2), 则x1,x2就是f(x)的极值点。
则g(x)有2个不同零点的条件是判别式>0, 即a²+4a+4-8a-4=a(a-4)>0,解得a>4或a<0.

追问

如果g(x)有2个零点x1,x2,则g(x)=(x-x1)(x-x2)

这一句是肿么回事？

追答

这就是二次函数的零点式。

追问

交点式？不是应该还有斜率a吗/
y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0] .

追答

那个a是二次项系数，而这里的二次项次数为1.所以就略去了。