Question

已知二次函数y=x平方-(m平方+8)x+2(m平方+6)，设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点

已知二次函数y=x平方-(m平方+8)x+2(m平方+6)，设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点，问是否存在实数m，使三角形ABC为等腰直角三角形，如存在求m，不存在请说明理由

Answer 1

不存在实数m，使⊿ABC为等腰直角三角形。
∵抛物线y=x²－(m²＋8)x＋2(m²＋6)的
顶点A的纵坐标为﹣﹙m²＋4﹚²／4，
∴A到x轴的距离AD＝﹙m²＋4﹚²／4，
方程x²－(m²＋8)x＋2(m²＋6)＝0的两根为
x1＝m²＋6。x2＝2。
∴BC＝m²＋6－2＝m²＋4，
欲使⊿ABC为等腰直角三角形，
须满足AD＝1／2BC，
即﹙m²＋4﹚²／4＝1／2·﹙m²＋4﹚，
∵m²＋4≠0
∴m²＋4＝2，﹙没有实数解﹚
因此不存在实数m，使⊿ABC为等腰直角三角形。