Question

高中数学：设圆x^2+(y-1)^2=1的切点l与x正半轴，y轴正半轴分别交于AB两点，当AB取最小值时，切线l在y轴上

Answer 1

解答：
设切线是x/a+y/b=1
即 bx+ay-ab=0
圆心到直线的距离等于半径
代入距离公式
化简得你说的结果
a²b²=2a²b+b²
除以b
∴ a²b=2a²+b
∴ a²=b/(b-2)>0, ∴ b>2
|AB|²=a²+b²=b/(b-2)+b²
需要用导数，基本不等式感觉够呛。
你用过导数方法吗？
b=(3+√5)/2

追问

追答

这个啊。可以发现1满足方程，然后凑数就行
b³-4b²+4b-1=0
即 b³-b²-(3b²-4b+1)=0
即 b²(b-1)-(b-1)(3b-1)=0
∴ (b-1)(b²-3b+1)=0
∵ b>2
∴ b²-3b+1=0
∴ b=(3+√5)/2 或b=(3-√5)/2（舍）