Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为1 2 ，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=1/2x+m与椭圆C交于A、B两点，过A、B作两条斜率互为相反数的直线PA、PB交于P点，试问是否存在满足条件的定点P与m的取值无关，若存在，求出所有定点坐标，若不存在，说明理由

Answer 1

（1）设椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
　　∵e=1/2 ∴c=√(a^2-b^2)=a/2
　　∵左顶点到右焦点的距离为3
　　∴a+c=3 a+a/2=3 a=2 c=1 b=√3
　　椭圆的标准方程为：x^2/4+y^2/3=1
（2）设过点p(0,m)的直线l的方程：y=k*x+m
　　与x^2/4+y^2/3=1联立求出A、B坐标：
　　(-2[2km-√(9-3m^2+12k^2)]/(3+4k^2), [2k√(9-3m^2+12k^2)+3m]/(3+4k^2))
　　(-2(2km+√(9-3m^2+12k^2)]/(3+4k^2), [-2k√(9-3m^2+12k^2)+3m]/(3+4k^2))
　　AP=(-1/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)], -k/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)])
　　PB=( 1/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)], k/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)])
　　∵向量AP=向量3PB
　　∴-1/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)]=3/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)]
　　 -k/(3+4k^2)*[-4km-2√(9-3m^2+12k^2)]=3k/(3+4k^2)*[-4km+2√(9-3m^2+12k^2)]
　　∴4km+2√(9-3m^2+12k^2)=-12km+6√(9-3m^2+12k^2)
　　 4km=√(9-3m^2+12k^2)
　　 16k^2m^2=9-3m^2+12k^2
　　 (16k^2+3)m^2=9+12k^2
　　 m^2=(9+12k^2)/(3+16k^2)

Answer 2

x方比4加y方比3等于1。