Question

设函数f(x)=a^x-(k-14)a^(-x)（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数. （1）求

k值
（2）若f（1）＜0，试判断函数f（x）的单调性.并求使不等式f（x^2+tx）+f（4-x）＜0对一切x∈R恒成立的t的取值范围
（3）若f（1）=3/2，g（x）=a^(2x)+a^(-2x)-2mf(x)且g（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值

Answer 1

(1)f(x)是定义域R上的奇函数，则f(0)=0 所以
1 - （k-14） =0 所以：k=15
(2) f(1) = a - 1/a <0 则：0<a<1
所以：f'(x)= a^x lna + a^(-x)lna >0 恒成立
故f(x)在R上单调递增，f（x^2+tx）+f（4-x）＜0 等价于：f（x^2+tx）＜ f(x-4)
由单调性得：x^2+tx < x-4 对x∈R恒成立，所以：(t-1)² -4×4<0
故：-3<t<5
(3) f(1) = a -1/a =3/2 所以：a=2
g(x) = 4^x +4^(-x) - 2m(2^x - 2^(-x) )
因为在[1，+∞）上，恒有：4^x +4^(-x)>4 2^x - 2^(-x) >= 3/2 则必须满足 ：m>0
g'(x) = (4^x - 4^(-x))ln4 - 2mln2 (2^x + 2^(-x)) = （2^x + 2^(-x)）[2^x - 2^(-x) -m ] ln4
当：m<3/2时，min(g) = g(1) = 4+1/4 -3m =-2 得：m=2+1/12舍去
当：m>=3/2时，g的最小值在：2^x - 2^(-x) =m时取得，此时：2^x + 2^(-x) =√(m²+4)
所以：min(g) = m² +2 -2m² =-2 所以：m=2

追问

第2小题不对吧，第一行那个式子怎么得出来的