Question

超难数学题，高手进来。。。。

已知AB为圆O的直径,点C在圆O上,CD⊥AB于D,且∠AOD=60°,E为弧BC上一动点，（不与点B、C重合），过E分别作EF⊥AB于F，EG⊥OC于G。求证CD=GF
已知AB为圆O的直径,点C在圆O上,CD⊥AB于D,且∠AOc=60°,E为弧BC上一动点，（不与点B、C重合），过E分别作EF⊥AB于F，EG⊥OC于G。四个命题哪个正确？：①∠GEF=60°；②CD=GF；③△GEF一定为等腰三角形；④E在弧BC上运动时，存在某个时刻是的△GEF为等边三角形。

Answer 1

应该是∠COD=60°吧！

如图，连接GF，设圆O半径为2r

则，OC=OE=2r

已知CD⊥AB，∠COD=60°

所以，CD=2r*sin60°=√3r……………………………………………（1）

已知EF⊥AB，EG⊥OC

则，∠FEG=∠COD=60°

且，E、F、O、G四点共圆O'，圆直径为OE=GH=2r

∠GHF=∠GEF=60°

所以，GF=GH*sin60°=2r*(√3/2)=√3r………………………………（2）

由(1)(2)得到：CD=GF

或者不用四点共圆，直接取OE中点O'，连接O'G、O'F

证明△O'GF为顶角为120°的等腰三角形

然后在这个等腰三角形中利用勾股定理求解GF，也可以证明出来，只不过计算量稍微大一点。

追问

很好，谢谢你们几位

Answer 2

证明：作GH⊥AB，连接EO．
∵EF⊥AB，EG⊥CO，
∴∠EFO=∠EGO=90°，
∴G、O、F、E四点共圆，
所以∠GFH=∠OEG，
又∵∠GHF=∠EGO，
∴△GHF∽△OGE，
∵CD⊥AB，GH⊥AB，
∵GH∥CD，
∴EO/GF=GO/GH=CO/CD
又∵CO=EO，
∴CD=GF．
希望对你有帮助

Answer 3

连D与OC中点H

则DH=CH=1/2OC

∠CHD=120°

连OE，再连G,F与OE中点K

则GK=EK=1/2OE

∠GKF=120°

证明△CHD与△GKF全等就行了

Answer 4

明天回复。。。。

Answer 5

,CD⊥AB于D,且∠AOD=60°,题错啦