Question

求问高等代数中有关特征值特征多项式有关的题目

第一题我不太会的就是如果当A不可逆时，并且A的秩为n-1时，那个0对应的A的伴随矩阵的特征值不会求。。

Answer 1

一. r(A) = n-1时可以用关于特征多项式系数的以下论断:
n阶方阵A的n-1次项系数 = -∑{1 ≤ i ≤ n} a[i,i], 1次项系数 = (-1)^(n-1)·∑{1 ≤ i ≤ n} A[i,i],
其中a[i,i]表示i行i列的元素, A[i,i]表示去掉i行i列后的余子式.
证明可将行列式|λE-A|完全展开, 而且可推广到: k次项系数 = (-1)^(n-k)·k阶主子式之和.

r(A) = n-1时, A至少有一个零特征值, 设λ[k] = 0, 则对i ≠ k都有μ[i] = 0.
由根与系数关系, μ[k] = ∑{1 ≤ i ≤ n} μ[i] = (-1)^(n-1)·1次项系数 = ∑{1 ≤ i ≤ n} A[i,i].
另一方面, r(A*) = 1, 0作为A*的特征值的重数至少是n-1.
剩下的一个特征值 = A*的特征值之和 = tr(A*) = ∑{1 ≤ i ≤ n} A[i,i] = μ[k].
因此μ[1], μ[2],..., μ[n]是A*的n个特征值.

二. (1)(2) 由A为n阶正交阵且|A| = 1, 有f(λ) = |λE-A|
= |λA'A-A| = |λA'-E|·|A| = |λA-E| = (-λ)^n·|E/λ-A| = (-1)^n·λ^n·f(1/λ).
注意到λ^n·f(1/λ)的系数恰好是f(λ)系数的反排.
n为偶数时(-1)^n = 1, 故a[i] = a[n-i]; 而n为奇数时(-1)^n = -1, 故a[i] = -a[n-i].

(3) 设A = [a,b;c,d], 由a²+c² = 1, 不妨设a = cos(t), c = sin(t).
进而由a²+b² = 1, c²+d² = 1可得b = ±sin(t), d = ±cos(t).
由1 = cos²(t)+sin²(t) ≥ ±cos²(t)±sin²(t) = ad-bc = |A| = 1, 知d = cos(t), b = -sin(t).
因此行列式为1的2阶正交阵总可表示为[cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t)].
此时可验证B = [cos(t/2),-sin(t/2);sin(t/2),cos(t/2)]即满足条件.

注: 其实[cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t)]对应平面上以t为角度的旋转,
从这个角度理解, B的构造就很直接了.

Answer 2

　　第一题可以用连续函数证明
　　第二题 |A'|*|x*E-A|=|x*E-A|,即可以证明1 2 第三个显然