Question

求20题详解，谢谢！！

Answer 1

F(1,0),AB:y=k1(x-1),即x=y/k1+1,①
代入y^2=4x得y^2-4y/k1-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4/k1,
∴AB中点P的yP=(y1+y2)/2=2/k1,由①，xP=2/k1^2+1,
∴P(2/k1^2+1,2/k1),
同理，Q(2/k2^2+1,2/k2),
|FP|=|2/k1|√[1+(1/k1)^2]=(2/k1^2)√(k1^2+1),
同理|FQ|=(2/k2^2)√(k2^2+1),
(1)k1k2=-1,∴FP⊥FQ,k1^2+k2^2>=2|k1k2|=2,
∴S△PFQ=(1/2)|FP||FQ|=4/(k1k2)^2*√[(k1^2+1)(k2^2+1)]
=4√[(k1k2)^2+k1^2+k2^2+1]>=8,当k1=1,k2=-1时取等号，
∴所求最小值=8.
（2）k1+k2=1,PQ的斜率=k1k2/(k1+k2)=k1(1-k1),
∴PQ:y-2/k1=k1(1-k1)[x-(2/k1^2+1)],
即y=k1(1-k1)(x-1)+2,
∴PQ过定点(1,2).