Question

在△ABC中，三个内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，且A,B,C成等差数列，a,b,c成等比

在△ABC中，三个内角A,B,C对应的边分别为a,b,c，且A,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列。求证：△ABC为等边三角形

Answer 1

证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C， ①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π， ②
由①②得，B=， ③
由a，b，c成等比数列，有b2=ac， ④
由余弦定理及③，可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，
再由④，得a2+c2-ac=ac，
即(a-c)2=0，因此a=c，
从而A=C， ⑤
由②③⑤，得A=B=C=，
所以△ABC为等边三角形。
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