复合函数求导公式是如何推导出来的？

设y=f(u),u=g(x)则f'(u)=(f(u+du)-f(u))/dudu=dg(x)=g'(x)dx则原式=f'(u)=(f(u+du)-f(u))/g'(x)d... 设y=f(u),u=g(x)
则f'(u)= ( f(u+du) - f(u) ) / du
du = dg(x) = g'(x)dx
则原式=
f'(u)= ( f(u+du) - f(u) ) / g'(x)dx
f'(u)g'(x) = ( f(u+du) - f(u) ) /dx
= ( f(g(x+dx)) - f(g(x) ) /dx = f'(x)
上述证明是否正确，如果正确的话，为什么说df/dx = df/du * du/dx 中的du不可以约去，上述证明中g'(x)的移位不是与du的约去本质相同吗？
上述证明如果错误，请给出正确的证明，并说明不同之处在哪里？
如果以下是对的，请说明设v 和u 的意义在哪里？如果把u ,v消去，得到的等式与上述我的证明不是一样的吗？

首先，根据定义：当h->0时，g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，当h->0时，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k所以，f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h （其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h）所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]当h->0时，u和v都->0，这个容易看。所以当h->0时，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]=f'(g(x))·g'(x)然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x) 展开

1个回答

#热议# 为什么说不要把裤子提到肚脐眼？

lgddchendong
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你的证明是错误的，有两个地方；

u+du=g(x+dx)，？？，由u=g(x)能推出吗？，你好像是为了凑出结论而编出的，这只是形式上的问题，尚不太严重，严重的是下面这个，这涉及到基本概念。
( f(g(x+dx)) - f(g(x) ) /dx = f'(x) ？？，就算左边有这样一个式子，它等于右边吗？这个写法是将y直接看成了x的函数。按设定，y=f(u),u=g(x)，y是u的函数【不论有没有u=g(x)】，我们能看到的是y随u的变化，我们针对y的任何运算【包括求导】只能针对u，只是因为u=g(x)，我们才认为y实质上是随x变化的，尽管实质上是这样的，但我们无法对y的运算直接针对x，只能通过中介u而达到。
讲到复合函数求导，那通常的非复合函数的求导就先确定了才行。导数是因为微分的存在而存在【导数是两个微分的比值】。dy=f‘(u)du,du=g'(x)dx,所以，dy=f‘(u)×g'(x)dx，dy/dx=f‘(u)×g'(x)【通过这个链式法则，通过中介，我们间接的找到了实质上y与x的关系】。【注意：dy=f‘(u)du,du=g'(x)dx,这两个式子不论前面的u与后面的u有没有关系，都成立，一定要独立的看。如有关系，是一个u，则链式法则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)成立，否则dy/dx就没有意义。】
你的推导方式：用取极限的方法用在复合求导上太繁琐【不是说不行】，因复合求导是基本概念求导上的二级概念，用基本概念推二级概念易懂，取极限的方法与二级概念隔了一层就繁琐。
第一部分也许说的不对，你主要看一些思路吧，仅供参考。

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追问

1，u=g(x), du=dg(x)=g(x+dx) - g(x)
      u+du= g(x) +g(x+dx) -g(x) =g(x+dx),这显然不是凑出来的。
还有其他写在评论里

追答

du=dg(x)=g(x+dx) - g(x)：微分du写成这样的形式我觉得在计算数学中是可以的，g(x+dx) - g(x)可以叫差分，在理论推导中是不行的。你百度一下微分的定义，微分代表了增量g(x+dx) - g(x)的一个线性主部【如果能够区分出来的话】，而且这个主部是确定的，由此点的导数表示。