Question

如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，过点P作直线，交AD于E，交BC于F，若PE=PF，

且AP+AE=CP+CF，求证：四边形ABCD为平行四边形

Answer 1

解答完毕，祝你学习愉快

Answer 2

过点E坐EM⊥AP于点M,过点F作FN⊥CP于点N，
则∠EPM=∠FPN,∠EMP=∠FNP=90°，EP=FP
所以三角形EMP与三角形FNP全等
所以PM=PN（2）,EM=FN,
因为AP+AE=CP+CF（1）
（1）-（2）（3）
得，AE+AM=CF+CN
由勾股定理知：AE^2-AM^2=EM^2=FN^2=CF^2-FN^2
即（AE-AM）(AE+AM)=(CF-FN)(CF+FN)（4）
由于AE+AM=CF+CN（3）
所以（4）/（3）得，
AE-AM=CF-FN（5）
（3）+（5）得AE=CF,，AM=FN
所以AP=CP，
因为PE=PF，∠APE=∠CPF，所以三角形APE与三角形CPF全等

所以∠EAP=∠FCP，
又因为∠APD=∠CPB，所以三角形APD与三角形CPB全等
所以PD=PB，
又因为AP=CP即AC、DB互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形

Answer 3

延长AC，截取AM=AE，连接EM；截取CN=CF，连接FN
那么∠M=∠AEM，∠CFN=∠N
∵AP+AE=CP+CF
∴AP+AM=CP+CN
即PM=PN
∵PE=PF
∠MPE=∠NPF
∴△MPE≌△NPF(SAS)
∴∠M=∠N=∠AEM=∠CFN
EM=FN
∴∠EAM=∠FCN
即180°-∠EAM=180°-∠FCN
∴∠EAP=∠FCP
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行）
∵∠APE=∠CPF，∠EAP=∠CFP
PE=PF
∴△APE≌△CPF(AAS)
∴AP=CP
∵∠EAP=∠FCP，即∠DAP=∠BCP
∠APD=∠BPC
AP=CP
∴△APD≌△BPC(ASA)
∴AD=BC
∵AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形

Answer 4

证明：延长PA至G，使AG=AE，连接GE；延长PC至H，使CH=CF，连接HF
∵PG=PA+AG PH=PC+CH
∴PG=PA+AE PH=PC+CF
∵AP+AE=CP+CF
∴PG=PH
∵PE=PF ∠EPG=∠FPH
∴△EPG≌△FPH
∴∠G=∠H
∵∠G=∠AEG ∠H=∠CFH
∴∠EAP=2∠G ∠FCP=2∠H
∴∠EAP=∠FCP
∵∠APE=∠CPF PE=PF
∴△APE≌△CPF
∴AP=CP
∵∠APD=∠CPB ∠EAP=∠FCP
∴△APD≌△CPB
∴PD=PB
∴四边形ABCD为平行四边形