设α1，α2是矩阵A属于不同特征值的特征向量，证明α1+α2不是矩阵A的特征向量
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华南检测机构
2025-02-26 广告
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证明: 由已知设α1,α2是A的分别属于不同特征值λ1,λ2的特征向量
则 Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2, 且λ1≠λ2.
假如aα1+bα2是A的属于特征向量λ的特征向量
则 A(aα1+bα2)=λ(aα1+bα2).
所以 λ1aα1+λ2bα2 = λ(aα1+bα2).
所以 (λ-λ1)aα1+(λ-λ2)bα2=0.
因为A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 (λ-λ1)a=0,(λ-λ2)b=0
由于 ab≠0
所以 λ=λ1=λ2, 与λ1≠λ2矛盾.
则 Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2, 且λ1≠λ2.
假如aα1+bα2是A的属于特征向量λ的特征向量
则 A(aα1+bα2)=λ(aα1+bα2).
所以 λ1aα1+λ2bα2 = λ(aα1+bα2).
所以 (λ-λ1)aα1+(λ-λ2)bα2=0.
因为A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 (λ-λ1)a=0,(λ-λ2)b=0
由于 ab≠0
所以 λ=λ1=λ2, 与λ1≠λ2矛盾.
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