Question

设α1，α2是矩阵A属于不同特征值的特征向量，证明α1+α2不是矩阵A的特征向量

Answer 1

证明: 由已知设α1,α2是A的分别属于不同特征值λ1,λ2的特征向量
则 Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2, 且λ1≠λ2.

假如α1+α2是A的属于特征向量λ的特征向量
则 A(α1+α2)=λ(α1+α2).
所以 λ1α1+λ2α2 = λ(α1+α2).
所以 (λ-λ1)α1+(λ-λ2)α2=0.
因为A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 λ-λ1=0,λ-λ2=0
所以 λ=λ1=λ2, 与λ1≠λ2矛盾.
所以α1+α2不是A的特征向量

Answer 2

证明: 由已知设α1,α2是A的分别属于不同特征值λ1,λ2的特征向量
则 Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2, 且λ1≠λ2.
假如aα1+bα2是A的属于特征向量λ的特征向量
则 A(aα1+bα2)=λ(aα1+bα2).
所以 λ1aα1+λ2bα2 = λ(aα1+bα2).
所以 (λ-λ1)aα1+(λ-λ2)bα2=0.
因为A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以 (λ-λ1)a=0,(λ-λ2)b=0
由于 ab≠0
所以 λ=λ1=λ2, 与λ1≠λ2矛盾.