Question

已知0<x<1,求证(a^2/x)+(b^2/(1-x))>=(a+b)^2

Answer 1

设x=cos^2m,0<m<π/2
a^2/x+b^2/(1-x)=a^2(1+tan^2m)+b^2(1+cot^2m)
=a^2+b^2+a^2tan^2m+b^21cot^2m
>=a^2+b^2+2ab=(a+b)^2(基本不等式）
作差比较法

(a^2/x+b^2/(1-x))-(a+b)^2

=[a^2(1-x)+b^2x]/x(1-x)-(a+b)^2

=[a^2-(a^2-b^2)x-(a^2+2ab+b^2)(x-x^2)]/x(1-x)

=[a^2-a^2x+b^2x-a^2x+a^2x^2-2abx+2abx^2-b^2x+b^2x^2]/x(1-x)

=[(a^2-2a^2x+a^2x^2)+b^2x^2-2abx+2abx^2]/x(1-x)

=[a^2(1-x)^2+b^2x^2-2abx(1-x)]/x(1-x)

=[a(1-x)-bx]^2/x(1-x)>=0
注：因为：0<x<1，所以：1-x>0,x(1-x)>0

即分子分母都大于0

即：[a^2/x+b^2/（1-x）]>=(a+b)^2即：[a^2/x+b^2/（1-x）]>=(a+b)

Answer 2

a^2/x=(1-x+x)a^2/x
=(1-x)a^2/x + a^2

b^2/(1-x)=(1-x+x)b^2/(1-x)
=xb^2/(1-x) +b^2

a^2/x+b^2/(1-x)
=(1-x)a^2/x+xb^2/(1-x)+a^2+b^2
>=2√[(1-x)a^2/x*xb^2/(1-x)]+a^2+b^2
=2ab+a^2+b^2

所a^2/x+b^2/(1-x)>=(a+b)^2

Answer 3

亲，你的条件应该不止这些吧

追问

只有这些。
题目是在不等式证明-比较法 里的

追答

a,b是咋来的，不懂啊